hepnotÇemberde teğet, temas kirişi ve merkezden uzaklık
Konunun mantığı
O merkezli,r>0 yarıçaplı çembere T noktasında teğet doğru, yalnız bir temas noktası taşır; OT yarıçapına Tde diktir. Diklik herhangi bir yarıçapla değil temas noktasına giden yarıçapla kurulur. T çemberde ve doğru Tden geçip OTye dikse doğru teğet olur; merkezden doğruya en kısa uzaklık rdir. Çemberi iki noktada kesen doğru kesendir; yakın görünen kısa parçası bu yüzden otomatik teğet sayılmaz.
P çemberin dışında,OP=d>r olsun. Pden çizilen iki teğetin temas noktaları A ve B ise OAP ve OBP dik üçgenlerinde ortak hipotenüs OP ve eş yarıçaplar vardır. İki pozitif teğet uzunluğu t için t²=d²−r²; dolayısıyla PA=PB olur. Eşitlik aynı çember ve aynı dış noktadan çizilen teğet parçaları içindir; farklı dış noktalar için ölçüsüz bir eşitlik iddiası değildir. P içerideyse gerçek teğet çizilemez; d=r sınırında dış noktadan iki ayrı pozitif parça modeli kalmaz.
Bir AB kirişinin uçları farklı çember noktaları olsun. Merkezden kiriş doğrusuna indirilen dikmenin ayağı M, kirişi ortalar: AM=MB. Bunu OAM ve OBMde eş yarıçaplar,ortak OM ve diklik üzerinden görebiliriz. Merkez uzaklığı s=OM ve yarım kiriş x=AM için x²+s²=r²,AB=2x olur. 0<s<r olağan çap olmayan kiriş durumudur; s=0 ise kiriş çaptır ve AB=2r. O=M olduğunda sıfır OM parçasını ayrı bir doğru yönü gibi kullanmayız.
Aynı çemberde merkezden uzaklık artarsa pozitif yarım kirişin karesi r²−s² azalır; kiriş kısalır. Ters karşılaştırmada eş kirişler eş merkez uzaklığı taşır. Bu hüküm yarıçap aynıyken kurulur; farklı çemberlerde yalnız uzaklıkları karşılaştırmak yetmez. Kirişin bütün uzunluğu ile yarısı farklıdır: Pisagor üçgeninde hipotenüs r, dik kenarlardan biri AB/2dir; ABnin tamamını yazmak dört kat kare hatası üretir.
A ve B aynı dış Pnin iki temas noktasıysa AB ayrıca temas kirişidir. OA=OB ve PA=PB olduğundan O ve P,ABnin orta dikmesi üzerindedir; OP doğrusu ABye diktir ve Mde ortalar. OMA ile OAP dik üçgenleri O↔O,M↔A,A↔P eşleşmesiyle AA benzerdir; OM/r=r/OP, yani OM=r²/OP elde edilir. Bu bağıntı her rastgele kiriş/dış nokta için değil bu temas düzeni içindir. Pozitiflik ve Mnin konumu korunur; aşağıdaki örnekler bütün teğet-kesen/çember kuvveti veya teğet-kiriş açı kapsamını bitirmez.
Temas yarıçapı teğete diktir. Aynı dış P için PA=PB ve t²=OP²−r². Merkez-kiriş dikmesi kirişi ortalar: (AB/2)²+OM²=r². Temas kirişi özel düzeninde OM=r²/OP.
Adım adım bir örnek
Özgün modelde O merkezli çemberin yarıçapı15 birim; dış P için OP=25 birim. Pden iki teğet A ve Bde temas ediyor. M,OP ile ABnin kesişimi; temas düzeninden OP⊥AB ve AM=MB. ABnin uzunluğu iki koşullu yolla bulunacak.
Teğet dik üçgeni ve AA
- OAP dik üçgeninde PA²=25²−15²=400; PA=20.
- OMA∼OAP ile OM/15=15/25; OM=9.
- AM²=15²−9²=144; AM=12,AB=2·12=24.
Sınır: OM=r²/OP temas kirişi düzenine bağlıdır; her kiriş için OP seçip kullanılamaz.
Aynı üçgenin alanını iki tabanla yaz
- OAP üçgeninde dik kenarlar OA=15,PA=20; alan15·20/2=150.
- OP=25 tabanına A’dan dik uzaklık AMdir; alan25·AM/2=150 →AM=12.
- Merkez-kiriş dikmesi AM=MB verdiğinden AB=24.
Sınır: AMnin OPye dikliği ve Bnin karşı yarıda oluşu temas düzeniyle kurulmuştur. Bu alan temsili, ortak teğet dikliği bilgisinden bağımsız bir genel teorem ispatı değildir.
PA=PB eşitliğini bilmek tek başına A ve Bnin herhangi bir çemberde temas noktası olduğunu kanıtlar mı?
Hatayı bul
Öğrenci “Merkezden16 uzunluklu kirişe dikme indirdim; dik üçgende yarıçapın karesini OM²+16² yazdım” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Merkezden indirilen dikmenin kirişi ortaladığını kullanmayıp bütün kirişi küçük dik üçgenin kenarı almaktır.
Dik üçgende kiriş parçası16/2=8 olur; r²=OM²+8² yazılır. Diklik merkezden gelmeli,ayak kirişi ortalamalıdır; rastgele kiriş noktası için aynı yarılama verilmiş sayılmaz.
Çalışılmış temas düzeninde OP25ten15e inerken yarıçap15 kalırsa iki ayrı pozitif teğet ve temas kirişi hesabı aynen sürer mi?
Hayır. P çember üzerine gelir;√(OP²−r²)=0 olur. Dış noktadan iki ayrı temas ve pozitif teğet parçaları modeli dejenere olur; önceki24 uzunluklu temas kirişi korunamaz. P içeride olsaydı gerçek teğet de çizilemezdi.
Dersin soruları
1O merkezli yarıçapı12 birim olan çemberin dışındaki Pden, A ve Bde temas eden iki teğet çiziliyor. PA=3x−2,PB=x+10 birim; bu parçalar pozitiftir. OP uzunluğu kaç birimdir?
Bu soruda hata mı var?2Aynı O merkezli çemberin yarıçapı17 birim. Bir kirişin uzunluğu30,bir diğerinin16 birim. Her kiriş için merkezden kiriş doğrusuna dik uzaklık ölçülüyor; iki kiriş de çap değildir. 16 birimlik kirişin merkez uzaklığı,30 birimlik kirişinkinden kaç birim fazladır?
Bu soruda hata mı var?3O merkezli yarıçapı10 birim olan çemberin dışındaki Pden A ve Bde iki teğet çizilmiştir. Temas kirişi AB=16 birim. M=OP∩AB; bu temas düzeninde OP⊥AB,M doğru parçası[OP] içindedir ve AM=MB. OP uzunluğu kaç birimdir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1O merkezli, yarıçapı 13 birim olan çemberde ℓ1, ℓ2, ℓ3 ve ℓ4 doğrularının O’ya dik uzaklıkları sırasıyla 5, 13, 14 ve 12 birimdir. Bu doğruların çemberle ilişkisi hangisidir?
2O merkezli çemberin yarıçapı 13 birimdir. Çember üzerindeki T noktasından geçen bir ℓ doğrusu üzerinde Q noktası alınıyor ve OQ=15, TQ=14 birim ölçülüyor. ℓ doğrusunun çemberin içinde kalan parçasının uzunluğu kaç birimdir?
3O merkezli çemberin yarıçapı 6 birimdir. Çemberin dışındaki P noktası için OP=10 birimdir ve P’den çizilen teğetlerin temas noktaları A ve B’dir. OAPB dörtgeninin çevresi kaç birimdir?
4Yarıçapı 5 birim olan O merkezli çemberde P1, P2 ve P3 noktaları için OP1=4, OP2=5 ve OP3=13 birimdir. Bu noktalardan çembere çizilebilen teğetler için hangisi doğrudur?
5O merkezli bir çemberde AB kirişinin uzunluğu 48 birim, O’nun AB’ye dik uzaklığı 7 birimdir. Çemberin yarıçapı kaç birimdir?
6Aynı çemberde çap olmayan iki kirişin uzunlukları ile merkez uzaklıkları karşılaştırılıyor. Hangi ifade doğrudur?
7Yarıçapı 10 birim olan bir çemberde ve yarıçapı 17 birim olan başka bir çemberde, merkeze dik uzaklıkları sırasıyla 6 ve 15 birim olan birer kiriş çiziliyor (kirişlerin hiçbiri çap değildir). Kirişlerin uzunlukları için hangisi doğrudur?
8O merkezli çemberin yarıçapı 6 birimdir. Dış noktadaki P’den çizilen teğetlerin temas noktaları A ve B’dir; M noktası OP ile AB’nin kesişimidir (OP⊥AB) ve OM=18/5 birimdir. OP kaç birimdir?
9O merkezli çemberin dışındaki P noktasından çizilen teğetlerin temas noktaları A ve B’dir. M=OP∩AB (OP⊥AB) noktası [OP] doğru parçasının orta noktasıdır ve OP=20 birimdir. Çemberin yarıçapı kaç birimdir?
10O merkezli çemberin T noktasında bir ℓ doğrusunun teğet olduğunu kesin olarak gösteren bilgi hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Aynı dış Pden çizilen teğet parçaları neden eşittir?
Temas yarıçapları teğetlere diktir; iki dik üçgende ortak hipotenüs OP ve eş yarıçaplar vardır. Pozitif teğet uzunlukları aynı√(OP²−r²) değerini verir.
Merkez-kiriş uzaklığında neden kirişin yarısı kullanılır?
Merkezden kirişe dikme kirişi ortalar. Dik üçgenin hipotenüsü yarıçap; dik kenarlar merkez uzaklığı ve yarım kiriştir. Çapta uzaklık0 olur ve OM yönü ayrıca tanımlı değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.