hepnotDik dairesel silindir ve koni: hacim, açınım ve eğik uzunluk
Konunun mantığı
Bu ders r>0,h>0olan dik dairesel silindir ve dik dairesel koni modellerini kullanır. Silindirde iki eş dairesel tabanın merkezlerini birleştiren eksen tabanlara diktir. Dik konide tepe noktasından tabana inen dikme taban merkezine ulaşır. Taban çapı2r, yarıçap r ve dik yükseklik h farklı verilerdir. Eğik bir çizimde görülen uzunluğu etiketsizce h saymayız; eğik koni veya kesik koni bu girişin sayısal modeline dahil değildir.
Silindirin hacmiπr²h, aynı taban yarıçapı ve aynı dik yüksekliğe sahip koninin hacmi bunun üçte biridir. İlişki hacim bağıntısıdır; yan alanı da otomatik üçe bölmez. Koninin tepeye doğru daralan kesitleri, silindirin sabit taban-paralel kesitleriyle aynı değildir. Burada1/3bağıntısı bilinen geometrik hacim teoremi olarak kullanılır; birkaç sayısal örnek veya kap doldurma hikâyesi genel ispat sayılmaz. Yükseklikler eşit değilse oranı yeniden r²h üzerinden kur.
Dik dairesel silindirin yan yüzü kesilip bozulmadan açıldığında çevre uzunluğu2πr ve yükseklik h olan dikdörtgen elde edilir. Yan alan2πrh olur. İki taban da varsa toplam alan2πrh+2πr²dir; bir taban yoksa yalnız bir daire eklenir. Alanın hesabı hangi yüzlerin mevcut olduğuna bağlıdır. Kalınlık, kesim artığı, birleştirme payı ve iki taraflı kaplama bu ideal modelin dışında açıkça bırakılır.
Konide ana doğru uzunluğu ℓ, tepeden taban çemberine eğik yüzey boyunca uzanan doğru parçasıdır. Dik kesitte ℓ²=r²+h² olduğundan bu modeldeℓ>h veℓ>r. Yan yüz açınımı yarıçapıℓolan bir daire dilimidir; dilimin dış yay uzunluğu taban çevresi2πr olur. Tam daireye oranı r/ℓ olduğundan alanı(r/ℓ)·πℓ²=πrℓçıkar. Hacimde h, yan alandaℓkullanılması iki farklı geometrik ilişkinin sonucudur.
Koni tabanı da sayılıyorsaπr²eklenir; yalnız yan yüz için eklenmez. Eşit tabanlı iki cismin eşit hacimli olması h değerlerinin eşitliğini otomatik vermez: koni yüksekliği silindirinkinin üç katı olduğunda hacimler eşit olabilir. Yüzeyleri ise ayrı hesaplanır. Bütün uzunluklar ortak birimde olmalıdır; alanın birimi kare, hacmin birimi küptür. Bu dar giriş bütün katı cisimleri, küreyi, piramidi veya karmaşık birleşik yüzeyleri tamamlamaz.
Silindir:V=πr²h, yan alan2πrh. Dik koni:V=πr²h/3,ℓ²=r²+h²,yan alanπrℓ.1/3yalnız eşit taban/eşit dik yükseklikte hacim oranıdır; kapalı tabanları alan hesabında ayrıca say.
Adım adım bir örnek
Kurmaca dik dairesel koninin yarıçapı4cm, dik yüksekliği3cm; yalnız yan yüz alanı ve hacmi soruluyor. Karşılaştırma silindiri aynı yarıçap/yüksekliğe sahip. Kalınlık/pay yok;πsembolik tutulacak.
Dik kesit ve iki niceliğin bağıntısı
- ℓ=√(4²+3²)=5cm; yan alanπ·4·5=20πcm².
- Koni hacmiπ·4²·3/3=16πcm³.
- Aynı r,h silindirinin hacmi48πcm³tür;1/3burada hacimler arasında kullanılır.
Sınır: Diklik ve merkez üzerinden inen yükseklik verilidir.20πalanı ile16πhacmi farklı birimlerde olduğundan sayısal büyüklük yarışı yapılmaz.
Açınım oranı ve hacim karşılaştırması
- Yarıçapı5cm olan tam dairenin çevresi10π; koni diliminin yayı taban çevresi8πolmalıdır.
- Dilim tam dairenin4/5idir; yan alan(4/5)·25π=20πcm².
- Hacim için ayrı geometrik teoremi uygula: aynı r,h silindir hacminin üçte biri16πcm³. Alan oranı hacim teoreminin ispatı değildir.
Sınır: Dilim bozulmadan ve üst üste binmeden açılır. Açınım hacim içermez; hacim sonucu ayrıca gerekçelendirilir.
20πyan alana ulaşan ikinci yöntemde3cm doğrudan nerede kullanılmadı; yine de5cm nasıl bulundu? Alanı neden üçe bölmedik?
Hatayı bul
Öğrenci “Koninin yan alanıπrhdir; silindirle aynı r,h varsa yan alan da hacim gibi üçte bir olur” diyor. İlk geometrik hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Dik yüksekliği, koninin açınım dairesinin yarıçapı olan ana doğru uzunluğu yerine kullanmasıdır.
Konideℓ²=r²+h²ve yan alanπrℓolur.1/3hacim bağıntısı alan için taşınamaz; silindir yan alanı2πrhile ayrı karşılaştırılır. Birkaç sayı bu genel ilişkilerin ispatı değildir.
Çalışılmış koninin tabanı da kapatılır ve bütün mevcut yüzler bir kez sayılırsa alan ile geometrik hacim nasıl değişir?
Taban alanı16πcm²eklenir; toplam36πcm²olur. Aynı r=4,h=3katı bölgesinin geometrik hacmi16πcm³kalır. Bu ifade açık yüzeyin sıvı tutacağı anlamına gelmez; yüzey hesabıyla katı bölgenin hacmi ayrı modellerdir.
Dersin soruları
1Kurmaca dik dairesel silindir yüzeyinin yarıçapı3cm, yüksekliği10cm. Yan yüz ve alt daire var; üst daire yok. Mevcut yüzler yalnız bir kez sayılır, kalınlık/pay yok. İdeal yüzey alanı kaç cm²dir?
Bu soruda hata mı var?2Kurmaca dik dairesel koninin yarıçapı8cm, dik yüksekliği15cm. Yan yüz alanı ve hacim ayrı isteniyor; taban yüzü alana dahil edilmiyor. Yan alan / hacim ikilisi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Kurmaca dik dairesel silindirin yarıçapı9cm, yüksekliği4cm. Aynı yarıçaplı dik koninin hacmi bu silindirin hacmine eşit olacak. İki cismin yalnız yan yüzleri karşılaştırılacak; tabanlar alana dahil değil. Hangi sonuç doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca dik dairesel silindirin hacmi 270π cm³ ve taban çapı 6 cm’dir. Yan yüzünün alanı kaç cm²’dir?
2Dik dairesel bir koninin yan yüzü bozulmadan açıldığında yarıçapı 9 cm ve merkez açısı 240° olan bir daire dilimi elde ediliyor. Koninin yalnız yan yüzünün alanı kaç cm²’dir?
3Kurmaca bir silindirin hacmi 270 cm³’tür. Taban yarıçapı aynı, yüksekliği silindirin yüksekliğinin yarısı olan dik dairesel koninin hacmi kaç cm³’tür?
4Kurmaca dik dairesel koninin ana doğrusu 25 cm ve dik yüksekliği 24 cm’dir. Yalnız yan yüzünün alanı (taban dahil değil) kaç cm²’dir?
5Kurmaca silindirik bir boru parçasının iki ucu da açıktır; yalnız yan yüzü kaplanacaktır. Taban yarıçapı 4 cm ve kaplanacak ideal alan 144π cm² olduğuna göre borunun uzunluğu (yüksekliği) kaç cm’dir?
6Kurmaca bir silindirin ve bir koninin taban yarıçapı 3 cm, dik yüksekliği 4 cm’dir. Yalnız yan yüzlere bakıldığında (taban yok) koninin yan alanının silindirin yan alanına oranı kaçtır?
7Kurmaca dik dairesel koninin hacmi 100π cm³ ve dik yüksekliği 12 cm’dir. Tabanı da kapalı olan bu koninin toplam yüzey alanı kaç cm²’dir?
8Kurmaca silindir A’nın yarıçapı 2 cm, yüksekliği 9 cm; silindir B’nin yarıçapı 3 cm, yüksekliği 4 cm’dir. İkisi de iki tabanıyla kapalıdır. Hacimleri ve kapalı yüzey alanları karşılaştırılıyor. Hangi sonuç doğrudur?
9Kurmaca dik dairesel koni biçimli bir külahın taban çapı 10 cm ve ana doğrusu 13 cm’dir. Külahın hacmi kaç cm³’tür?
10Kurmaca bir silindirin taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 9 cm’dir. Yarıçapı 6 cm olan bir dik dairesel koninin hacmi bu silindirin hacmine eşit olacaktır. Koninin dik yüksekliği kaç cm olmalıdır?
Aklında kaldı mı?
Koninin açınımında daire diliminin yarıçapı ve yay uzunluğu nedir?
Dik konide yarıçap ana doğruℓ, dış yay taban çevresi2πrdir. Bu yüzden dilim alanıℓ·2πr/2=πrℓolur; hdoğrudan dilim yarıçapı değildir.
Koni/silindir hacim oranı hangi koşulda1/3; bu alan oranı da mıdır?
Taban alanları ve dik yükseklikleri eşitse hacim oranı1/3tür. Yan alan oranı ayrıcaπrℓ/(2πrh)=ℓ/(2h)olur; genel olarak1/3değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.