hepnotDik prizmada açınım ve açık–kapalı yüzey alanı
Konunun mantığı
Prizmanın yüzey alanı, sınırını oluşturan iki boyutlu yüzlerin alanlarıyla ilgilidir; içindeki hacmi saymaz. Bu derste tabanları eş, paralel ve çokgensel; yan ayrıtları tabanlara dik, yüksekliği h>0 olan dik prizmalar kullanılır. Hangi yüzlerin kapalı veya kaplanacak olduğu ayrıca belirtilir. Çok ince bir yüzey modeli ele alındığında aynı levhanın iç ve dış yüzlerini kendiliğinden iki kez saymayız; tek yüz alanı mı çift taraflı işlem mi istendiği açık olmalıdır.
Tabanın ardışık kenarları a₁,a₂,... olsun. Dik prizmada bu kenarlara karşılık gelen yan yüzler a₁×h,a₂×h,... dikdörtgenleridir. Yüzler bozulmadan düzleme açıldığında alanları korunur; ortak ayrıtların çizgi uzunluğu ayrıca yüzey alanına eklenmez. Yan alan böylece h(a₁+a₂+...)=Çh olur. Bu gerekçe eğik prizmada yalnız yan ayrıtı h diye yazarak kullanılamaz; diklik, dikdörtgen yan yüzlerin kurulmasını sağlar.
Bir tabanın alanı B ise tam kapalı modelin yüzey alanı Çh+2B olur. Tabanlardan biri yoksa ve geri kalan bütün yüzler varsa Çh+B; iki taban da yoksa Çh sayılır. Bunlar yüz listelerinin kısaltılmış yazımlarıdır. Bir yan yüzde bir açıklık varsa kaplanmayan kısmın alanı ayrıca çıkarılır. Kapak, pencere ve birleşim payı gibi sözcüklerin neyi değiştirdiği metinden belirlenir; üstü açık demek alt taban da yok demek değildir.
Ölçüleri alan işleminden önce ortak uzunluk birimine çevirmek güvenlidir. Santimetre cinsinden iki uzunluk çarpılınca cm² oluşur; dm² ile cm² arasında100, metre kare ile santimetre kare arasında10000çarpanı vardır. Bir köşegen veya görünen kenar ölçüsünü metinde belirtilmemiş yükseklik gibi kullanmayız. Çakışma, kesim artığı, kalınlık ve yapıştırma payı bu ideal alan modelinde dışlanır; hesap gerçek üretim için malzeme sipariş miktarı değildir.
Eşit hacim, yüzlerin aynı büyüklükte olduğunu zorunlu kılmaz. Dikdörtgenler prizmasında V=abc iken kapalı yüzey2(ab+ac+bc) olur; çarpımın sabit kalması ikili çarpımlar toplamını sabit tutmaz. Bütün uzunlukların k>0ile benzer ölçeklenmesi ayrı bir durumdur: alan k², hacim k³ile değişir. Yalnız bir ayrıtı değiştirirken benzerlik çarpanını bütün cisme uygulama. Bu giriş piramit, küre veya bütün açınım çeşitlerini tamamlamaz.
Dik prizmada yan alan=taban çevresi×dik yükseklik. Toplama yalnız gerçekten kapalı/kaplanacak tabanları ekle; açıklıkları çıkar. Alan ile hacim farklı niceliklerdir ve eşit hacim eşit yüzey gerektirmez.
Adım adım bir örnek
Kurmaca çok ince yüzey modelinin tabanı5×7cm dikdörtgen, dik yüksekliği9cm. Bütün yan yüzler ve alt taban var; üst kapak yok. Her mevcut yüz tek kez sayılacak; kalınlık, kıvrım, yapıştırma payı ve kesim artığı yok. Kaplanacak ideal alan soruluyor.
Açınımdaki yüz listesi
- İki yan yüz5×9, diğer ikisi7×9: yan alan2·45+2·63=216cm².
- Alt taban5·7=35cm²; üst taban listede yok.
- Toplam216+35=251cm². Ortak çizgi kenarları ek alan değildir.
Sınır: Model dik prizma ve tek yüz sayımıdır; gerçek levha kalınlığı veya çift taraflı boyama eklenmemiştir.
Kapalı modelden eksik yüzü çıkar
- Tam kapalı modelin yüzeyi2(5·7+5·9+7·9)=286cm².
- Eksik üst tabanın alanını yalnız bir kez çıkar:286−35=251cm².
- Yüz listesiyle çıkarma aynı sınırı sayar; kapak olmadığı için hacim hesabı yapmak gerekmez.
Sınır: Eksik yüz tam tabandır. Birden fazla açıklık veya kesişen delik varsa çıkarılacak birleşim alanı ayrıca incelenmelidir.
Alt taban da çıkarılsaydı hangi terim kalkardı; yüksekliği9cm olan yüzlerden biri kendiliğinden kaybolur muydu?
Hatayı bul
Öğrenci “Yan alanı buldum; üstü açık olsa da prizma olduğu için iki taban eklerim ve sonucu cm³yazarım” diyor. İlk sayım hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Cisim etiketini mevcut yüz listesinin yerine koyarak olmayan üst tabanı eklemesidir.
Önce gerçekten sayılacak yan yüzleri ve tabanları yaz. Üstü açık ve altı kapalı modelde yalnız bir taban eklenir. İki boyutlu alanın birimi cm²dir; cm³ hacme aittir.
Çalışılmış5×7×9modelde üst ve alt tabanı kaldırıp dört yan yüzü korursak alan ve çevreye bakan dış şekil hakkında ne değişir?
Alan251−35=216cm²olur. İkinci taban da artık sayılmaz; dört yan dikdörtgen değişmez. Bu açık yüzey, kapalı bir katının bütün sınırı değildir; hacim formülünü yüzey hesabının gerekçesi yapmayız. Şema planı çizilmiş açınım sayılmaz.
Dersin soruları
1Kurmaca dikdörtgen tabanlı dik yüzey modeli: taban kenarları30cm ve0,4m; dik yükseklik20cm. Alt taban ve dört yan yüz var, üst taban yok. Mevcut yüzlerin her biri bir kez sayılacak; pay/kalınlık/artık yok. İdeal toplam yüzey alanı kaç cm²dir?
Bu soruda hata mı var?2Kurmaca dik üçgen değil, kenarları13,14,15cm olan üçgen tabanlı dik prizma modeli veriliyor. Üçgende14cm kenarına ait dik yükseklik12cm; prizma yüksekliği9cm. Bir üçgen taban kapalı, öteki tamamen açık. Üç yan yüz var, fakat15×9cm yan yüzün içinde6×4cm dikdörtgen açıklık bırakılmış; açıklık kenarların içinde ve başka açıklıkla kesişmiyor. Bütün mevcut bölgeler bir kez sayılıyor. İdeal yüzey alanı kaç cm²dir?
Bu soruda hata mı var?3Kurmaca iki tam kapalı dikdörtgenler prizmasının ayrıtları sırasıyla A için2,3,12cm; B için3,4,6cm. Ölçüler pozitif ve yüzler eksiksiz. Hacim ve yüzeyleri karşılaştırılacak. Hangi sonuç doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Tabanı kare olan bir dik prizmanın yan yüzleri bozulmadan tek şerit hâlinde açıldığında 48 cm × 7 cm’lik bir dikdörtgen elde ediliyor (48 cm, taban çevresi boyunca uzanır). İki taban da vardır ve kapalıdır; kalınlık ve pay yok. Yüzey alanı kaç cm²’dir?
2Tabanı 5 dm × 40 cm, dik yüksekliği 3 dm olan dikdörtgenler prizması biçimli, iki ucu da açık bir boru parçasının yalnız dört yan yüzü vardır; alt ve üst taban yoktur. Kalınlık ve pay yok; her yüz bir kez sayılıyor. Kaplanacak ideal alan kaç cm²’dir?
3Kapalı dikdörtgenler prizmalarından P’nin ayrıtları 2 cm, 3 cm, 6 cm; Q’nunki 2 cm, 2 cm, 8 cm’dir. P ve Q için sırasıyla (yüzey alanı; hacim) değerlerini veren seçenek hangisidir?
4Tabanı dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan (hipotenüs 15 cm) bir dik üçgen olan dik prizmanın yan alanı 540 cm²’dir. Prizmanın hacmi kaç cm³’tür?
5Tabanı kenarı 10 cm olan bir kare olan dik prizma biçimli bir kovanın alt tabanı kapalıdır, üst tabanı yoktur; dört yan yüz ile alt taban kaplanacaktır. Kaplanan ideal alan 340 cm² olduğuna göre prizmanın yüksekliği kaç cm’dir?
6Yüzey alanı 54 cm² olan küp biçimli kapalı bir kutunun bütün ayrıtları 3 katına çıkarılıyor. Yeni kutunun yüzey alanı ve hacmi hangisidir?
7Kapalı dikdörtgenler prizmasının tabanı 6 cm × 8 cm’dir. 6 cm’lik taban kenarını içeren dikdörtgen yan yüzün köşegeni 10 cm’dir. Prizmanın yüzey alanı kaç cm²’dir?
8İkizkenar üçgen tabanlı bir dik prizmanın tabanının kenarları 13 cm, 13 cm ve 10 cm’dir; 10 cm’lik kenara ait yükseklik 12 cm’dir. Prizmanın iki tabanı da kapalı ve toplam yüzey alanı 840 cm²’dir. Tabanlar arasındaki dik uzaklık kaç cm’dir?
9Dikdörtgenler prizması biçimli, üstü açık, tabanı kapalı bir akvaryumun taban kenarları 80 cm ve 0,5 m, yüksekliği 40 cm’dir. Birbirine bakan iki yan yüzün her birinde 20 cm × 10 cm’lik dikdörtgen birer havalandırma deliği açıktır (delikler kenarların içinde, birbirinden ayrı). Dış yüzeyin mevcut bölgeleri bir kez sayılarak boyanacaktır; kalınlık ve pay yok. Boyanacak ideal alan kaç m²’dir?
10Birbirine benzer (karşılıklı bütün uzunlukları aynı oranda büyütülmüş) iki kapalı prizmadan küçüğün yüzey alanının büyüğünkine oranı 4/9’dur. Küçüğün hacminin büyüğün hacmine oranı kaçtır?
Aklında kaldı mı?
Dik prizmada Çh yan alanının açınım gerekçesi nedir?
Her taban kenarı, o kenar uzunluğu ve ortak h yüksekliğiyle bir yan dikdörtgen verir. Dikdörtgen alanlarını toplamak h ile taban çevresinin çarpımını verir.
Çh+2B bütün açık prizma yüzeylerinde kullanılabilir mi?
Hayır.2B yalnız iki taban da sayılıyorsa eklenir. Bir taban yoksaB, ikisi de yoksa0eklenir; başka açıklıklar kendi alanlarıyla çıkarılır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.