hepnotPrizma hacmi: taban alanını dik yükseklikle eşleştir
Konunun mantığı
Bu derste prizma, iki eş ve paralel çokgensel tabanın karşılıklı noktalarının aynı öteleme doğrultusuyla birleştirildiği üç boyutlu katı modeldir. Taban alanı B>0 ve taban düzlemleri arasındaki dik uzaklık h>0 olsun. Sayısal sorular dik prizma ya da iç hacmi dik prizma olan kap kullanır. Bir resimdeki görünür dikdörtgenin kenarları, üç boyutlu cismin bütün uzunluklarını tek başına belirlemez; verilen taban ve yükseklik etiketlerini izle.
Prizmanın hacmi V=B·h olur. B, kenar uzunluğu veya taban çevresi değil bir alandır. Dikdörtgen tabanda B=a·b, üçgen tabanda B=a·hₐ/2 hesaplanır; üçgenin kendi yüksekliği hₐ ile prizmanın tabanlar arasındaki h yüksekliği farklı uzunluklardır. Birimi santimetrekare olan taban alanı santimetre yükseklikle çarpılınca santimetreküp hacim çıkar; sonuç yüzey alanı değildir.
Dik prizmada yan ayrıtlar tabanlara dik olduğundan yan ayrıt uzunluğu h olur. Eğik bir prizmanın yan ayrıtı ise taban düzlemleri arasındaki dik uzaklıktan farklı olabilir; yalnız eğik ayrıt verilip V=B·yan ayrıt yazılamaz. Taban düzlemlerine paralel kesitlerin alanı B olarak korunur; bu sabit kesit modeli hacmin yüksekliğe doğrusal bağlılığını açıklar. Piramitte kesitler aynı alanlı değildir; prizma formülüne gerekçesiz 1/3 ekleme veya başka cisim türüne taşıma.
Bütün uzunlukları ortak birime çevirdikten sonra alanı ve hacmi hesaplamak güvenlidir. 1 dm=10 cm olduğundan 1 dm³=1000 cm³; 1 L=1 dm³=1000 cm³ ve 1 mL=1 cm³ olur. 1 m=100 cm ilişkisini hacme geçirirken çarpan 100 değil 100³tür. Alan birimini dönüştürürken de uzunluk çarpanının karesi gerekir; 1 dm²=100 cm². Uzunluk, alan ve hacim dönüşüm basamaklarını birbirine karıştırma.
Dolu katının dış geometrik hacmiyle kabın iç kapasitesi farklı modellerdir. Kapasite için iç ölçüler kullanılmalı; dış ölçüler ve duvar kalınlığı verilmemişse dış hacimden doğrudan kaç litre alacağı söylenemez. Sıvı seviyesi üzerinden hacim hesaplanıyorsa kap dik duruyor, taban yatay, sızıntı/taşma ve içeride yer kaplayan nesne yok kabulü açık olmalıdır. Benzer bütün uzunluklar k katına çıkarsa hacim k³ katına çıkar; yalnız prizma yüksekliği k katına çıkarsa hacim k katıdır.
V=taban alanı×dik yükseklik. Üçgen tabanın yüksekliği ile prizma yüksekliğini ayır; eğik yan ayrıt otomatik h değildir. Ortak birim kullan; 1 L=1 dm³=1000 cm³. Kapasite iç ölçü ister; hacim yüzey alanı değildir.
Adım adım bir örnek
Dik üçgen tabanlı bir dik prizmanın tabanındaki dik kenarlar 6 cm ve 8 cm; prizma yüksekliği 15 cm. Dolu katının hacmini iki temsille bulunuz.
Taban alanı ve yükseklik
- Dik üçgen taban alanı B=6·8/2=24 cm².
- V=24·15=360 cm³.
Sınır: 6 ve 8 tabandaki birbirine dik kenarlardır; 15 ise taban düzlemleri arasındaki dik yüksekliktir.
Eş iki prizmayı dikdörtgenler prizmasına tamamla
- Bu dik üçgen tabanın eş bir kopyasıyla 6×8 dikdörtgen taban oluşturulur; aynı 15 cm yükseklikle iki eş dik üçgen prizma birleşir.
- Birleşik hacim 6·8·15=720 cm³; bir parça bunun yarısı, 360 cm³.
Sınır: Tamamlama bu dik üçgen taban ve eş yükseklik koşullarında kurulur; herhangi iki üçgen prizmayı böyle birleştireceğimiz varsayılmaz.
İkinci yöntemde yarıya bölme neden taban alanındaki yarıyla aynı sonucu verir? 15 cm tabandaki eğik bir kenar olsaydı hangi hacim verisi eksik kalırdı?
Hatayı bul
“Taban alanı 2 dm², dik yüksekliği 30 cm olan prizmanın hacmi 2·30=60 cm³tür.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: dm² alan birimi ile cm yükseklik birimini dönüştürmeden çarpıp sonucu cm³ diye etiketlemek.
2 dm²=200 cm²; V=200·30=6000 cm³=6 L. Eşdeğer olarak yükseklik 3 dm alınır; 2·3=6 dm³ olur.
İç tabanı 20×30 cm ve dik yüksekliği 40 cm olan kapta, taban yatayken sıvı seviyesi 10 cmden 25 cmye çıkarsa eklenen sıvı kaç litredir? Sızıntı/taşma ve yer kaplayan nesne yok.
Seviye farkı 15 cm; sabit iç taban alanı 600 cm². Ek hacim 600·15=9000 cm³=9 L. Son hacim 15 L, ilk hacim 6 Ldir; istenen bunların farkıdır.
Dersin soruları
1Dik üçgen tabanlı bir dik prizmanın tabanındaki birbirine dik kenarlar 10 cm ve 12 cm, prizmanın dik yüksekliği 15 cm. Hacmi kaç cm³tür?
Bu soruda hata mı var?2İç boşluğu dikdörtgenler prizması olan boş bir kabın iç taban kenarları 20 cm ve 30 cm, iç dik yüksekliği 0,4 m. Kap dik duruyor; içeride nesne yok ve sıvı taşmadan iç yüksekliğe kadar dolduruluyor. Kapasite kaç litredir?
Bu soruda hata mı var?3Dikdörtgen tabanlı bir dik prizmanın tabanındaki iki kenar da iki katına çıkarılıyor; prizma yüksekliği yarıya indiriliyor. Katı model korunurken yeni hacmin eski hacme oranı kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca bir dik prizmanın tabanı kenarları 10 cm, 17 cm ve 21 cm olan bir üçgendir; 21 cm’lik kenara ait yükseklik 8 cm’dir. Prizmanın hacmi 420 cm³ olduğuna göre taban düzlemleri arasındaki dik uzaklık kaç cm’dir?
2İç tabanı 15 cm × 12 cm olan, dik duran dikdörtgenler prizması biçimli boş bir kaba 1,8 L su dolduruluyor. Taban yatay; taşma, sızıntı ve içeride yer kaplayan nesne yok. Suyun yüksekliği kaç cm olur?
3Dikdörtgenler prizması biçimli, üstü açık bir kutunun dış ölçüleri 24 cm × 14 cm × 31 cm’dir (yükseklik 31 cm). Yan duvarların ve tabanın kalınlığı her yerde 2 cm’dir. Kutu dik duruyor ve iç boşluğun tamamı dolduruluyor. Kapasite kaç litredir?
4Bir dikdörtgenler prizmasında taban kenarlarından biri 3 katına çıkarılıyor, diğer taban kenarı değişmiyor. Hacim aynı kalacaksa yükseklik eski yüksekliğin kaç katı olmalıdır?
5Eğik bir prizmanın tabanı, dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgendir. Yan ayrıtlar 13 cm uzunluğundadır ve iki taban düzlemi arasındaki dik uzaklık 12 cm’dir. Hacim kaç cm³’tür?
6Kurmaca bir dik üçgen prizmanın tabanındaki dik kenarlardan biri 9 cm, diğeri x cm; prizmanın yüksekliği 6 cm ve hacmi 270 cm³’tür. x kaç cm’dir?
7Tabanı dikdörtgen olan eğik bir prizmanın hacmi hesaplanacaktır. Aşağıdaki veri çiftlerinden hangisi hacmi belirlemeye yeterlidir?
8Dik duran bir A kabının iç tabanı 20 cm × 15 cm’dir. A’daki suyun tamamı, iç tabanı 3 dm × 2 dm olan boş B kabına boşaltılıyor (taşma, sızıntı ve yer kaplayan nesne yok). B kabındaki su seviyesinin A kabındaki su seviyesine oranı kaçtır?
9Dış ölçüleri 30 cm × 20 cm × 15 cm olan iki dikdörtgenler prizması biçimli kapalı kutunun içi boştur. A kutusunun her duvarının kalınlığı 2 cm, B kutusununki 1 cm’dir. İç boşluk kapasite sayılır. Hangi ifade doğrudur?
10Kurmaca bir dik prizmanın tabanı, 10 cm × 6 cm’lik bir dikdörtgenin bir köşesinden 4 cm × 3 cm’lik dikdörtgen kesilerek elde edilmiş L biçimli bir çokgendir. Prizmanın yüksekliği 5 cm’dir. Hacim kaç cm³’tür?
Aklında kaldı mı?
Prizmada h her zaman yan ayrıt uzunluğu mu?
Hayır. h taban düzlemleri arasındaki dik uzaklıktır. Dik prizmada yan ayrıt bu yüksekliğe eşittir; eğik prizmada aynı kabul edilmez.
1 dm³ kaç cm³ ve kaç Ldir; neden?
1 dm³=1000 cm³=1 L. Her kenarda 10 çarpanı vardır ve hacimde 10³ alınır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.