hepnotPiramitte dik yükseklik, yüz yüksekliği ve yan ayrıt
Konunun mantığı
Piramit, bir çokgensel tabanın düzlem dışındaki bir tepeyle birleştirilmesiyle oluşan katı modeldir. Taban alanı B>0 ve tepenin taban düzlemine dik uzaklığı h>0 olsun. Hacim teoremi V=Bh/3olarak kullanılır; prizmanın Bhbağıntısıyla aynı değildir. Aşağıdaki sayısal kontroller teoremi uygulayan örneklerdir, bütün piramitler için ispat yerine geçmez. Kaynak figürlerine bağımlı ölçü yoktur; bütün koşullar metinde verilir.
Üç farklı uzunluğu ayır: htaban düzlemine dik uzaklık; yan ayrıt, tepeden bir taban köşesine giden kenar; yan yüz yüksekliği ise tepeden o üçgen yüzün taban kenarına inen dikmedir. Sonuncusu kendi yüz düzlemindedir ve hacim yüksekliği olmak zorunda değildir. Düzgün piramitte taban düzgün çokgen ve yükseklik ayağı onun merkezindedir; yalnız düzgün taban bulunması tepelerin her konumunda aynı yan yüzü vermez.
Düzgün piramidin eş üçgen yan yüzlerinde ortak yükseklik ℓvarsa yan alan, her yüz için taban kenarı×ℓ/2toplanarak Çℓ/2olur. Taban da sayılıyorsa B ayrıca eklenir. Düzgün olmayan örnekte farklı yüz yüksekliklerine tek bir ℓatanamaz; her üçgen kendi yüksekliğiyle hesaplanır. Taban-paralel kesitte tepeden uzaklığın toplam hye oranı tise üstte kalan benzer piramidin uzunlukları t, kesit alanı t², hacmi t³ölçeğindedir. Bu ilişki benzerlikten gelir, hnin tek başına doğrusal hacim payı olduğu anlamına gelmez.
Kare tabanlı düzgün modelde kenar a>0, taban merkezi O, bir kenar ortası M ve köşe A olsun. Tepe Tden tabana dikme TO=h; OM=a/2; OA=a/√2olur. Böylece yüz yüksekliği TM=ℓiçinℓ²=h²+(a/2)²; yan ayrıt TA=s için s²=h²+a²/2yazılır. O-M-T ve O-A-T farklı dik üçgenlerdir. Görselde eğik çizilen her parça aynı uzunluk değildir; hangi taban noktasına gittiği önemlidir.
Hacimde Bile h, yan alanlarda ise üçgenlerin kenarlarıyla kendi yüz yükseklikleri kullanılır. Ortak uzunluk birimi alanı kare, hacmi küp birime götürür. Sayılacak yüzler ve tabanın açık/kapalı oluşu ayrıca belirtilir; iç/dış yüzleri, kalınlık ve üretim payını kendiliğinden iki kez saymayız. Bu dar giriş düzgün dörtyüzlü dahil bütün piramit türlerini veya geniş katı cisimler paketini tamamlamaz; şema planları gerçek çizim değildir.
V=Bh/3teoreminde htabana dik uzaklıktır. Yan alan üçgen yüzlerin alan toplamıdır; Çℓ/2yalnız ortak yüz yüksekliği koşulunda kullanılır. Kare düzgün piramitte yüz yüksekliğiyle yan ayrıt farklı dik üçgenlerden bulunur.
Adım adım bir örnek
Kurmaca kare tabanlı düzgün piramitte taban kenarı16cm, tepe taban merkezinin15cm tam üstünde. Taban dahil tüm yüzler bir kez sayılacak; kalınlık/pay yok. Hacim, yüz yüksekliği ve toplam alan soruluyor.
Merkez–kenar ortası dik kesiti
- OM=8cm ve TO=15cm. Yüz yüksekliğiℓ=√(8²+15²)=17cm.
- Yan alan4·(16·17/2)=544cm²;taban256cm², toplam800cm².
- V=256·15/3=1280cm³. Yan ayrıt√(15²+128)=√353cm;17cm ile aynı parça değildir.
Sınır: Düzgün kare taban ve merkez üzerinden dik yükseklik açıkça verilmiştir; genel piramide tek ℓaktarılmaz.
Yüz listesi ve hacim karşılaştırması
- Dört yan üçgenin her biri136cm²;taban256cm². Açınım alanları544+256=800cm²verir.
- Aynı taban alanı ve dik yüksekliği olan prizmanın hacmi3840cm³; bilinen piramit teoremine göre üçte biri1280cm³.
- İkinci hacim hesabı bağımsız teorem ispatı değildir; iki temsil aynı koşullu bağıntıyı kullanır.
Sınır: Yan yüzün yüksekliği17cm, kenarı√353cmolduğundan üçgen alanında yan ayrıt yüksekliğin yerine geçirilmez.
Neden17cm yüz alanına,15cm hacme giriyor? √353cm sayısı bu iki hesabın hangisinde doğrudan yükseklik değildir?
Hatayı bul
Öğrenci “Piramidin yan ayrıtı sverildiyse V=Bs/3yazarım; taban bir dörtgen olduğundan dört yüzün yüksekliği de sdir” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Yan ayrıtı taban düzlemine dik uzaklık yerine kullanmasıdır.
Hacim için hgereklidir; yan yüz alanı da o üçgenin kendi yüksekliğini ister. Dörtgen taban tek başına düzgünlük veya eş yüz yüksekliği sağlamaz. Köşe–kenar ortası–merkez noktalarını ayır.
Çalışılmış düzgün kare piramitte taban16cmkalıp dik yükseklik15cmden6cmye indirilirse alan ve hacim aynı oranda mı değişir?
Yeni yüz yüksekliği√(8²+6²)=10cm. Yan alan320cm², taban dahil576cm²; hacim256·6/3=512cm³olur. Hacim1280den512ye2/5oranıyla, toplam alan800den576ya18/25oranıyla değişir. Taban kenarı sabit tutulduğu için cisimler benzer ölçeklenmemiştir.
Dersin soruları
1Kurmaca kare tabanlı düzgün piramidin taban kenarı18cm ve her üçgen yan yüzün yüksekliği15cm. Tepe taban merkezinin üstünde; bütün uzunluklar pozitif. Hacim için dik yükseklik bulunacak. Dik yükseklik / hacim ikilisi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Kurmaca dikdörtgen tabanlı piramitte taban6×8cm, tepe taban merkezinin12cm tam üstünde. Düzgün kare piramit değildir. Yalnız dört yan üçgenin toplam alanı isteniyor; taban alanı dahil değil. Hangi yan alan ifadesi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?3Kurmaca düzgün piramidin dik yüksekliği10cm. Tabanına paralel bir düzlem, tepeden taban yönünde dik uzaklığı4cmolan noktada kesiyor. Üstte aynı tepeyi taşıyan küçük piramit kalıyor. Ölçeklenme benzerliği korunuyor. Küçük piramidin taban alanının büyük taban alanına / küçük hacmin büyük hacme oranı hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca kare tabanlı düzgün bir piramidin taban kenarı 12 cm, hacmi 336 cm³’tür. Tepe, taban merkezinin tam üstündedir. Tepeden bir taban köşesine giden yan ayrıt kaç cm’dir?
2Kurmaca kare tabanlı düzgün bir piramidin dik yüksekliği 12 cm; dört yan yüzünün alanları toplamı (taban hariç) 260 cm²’dir. Tepe taban merkezinin tam üstündedir. Taban kenarı kaç cm’dir?
3Hacmi 540 cm³ olan bir piramit, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Düzlem tepeden, toplam dik yüksekliğin 1/3’ü kadar uzaklıktadır. Kesit ile taban arasında kalan parçanın hacmi kaç cm³’tür?
4Kurmaca bir prizmanın ve bir piramidin tabanları aynı alanlıdır (24 cm²). Prizmanın tabanlar arası dik uzaklığı 6 cm’dir. İki cismin hacmi eşit olacaksa piramidin dik yüksekliği kaç cm olmalıdır?
5Kare tabanlı düzgün bir piramidin tepesi taban merkezinin tam üstündedir. Tepeden bir taban köşesine giden yan ayrıt 13 cm, bir yan yüzün tabana inen yüksekliği (yüz yüksekliği) 12 cm’dir. Taban kenarı kaç cm’dir?
6Kurmaca bir piramidin tabanı dikdörtgendir ve kenarlarından biri 18 cm’dir. Tepe taban merkezinin tam üstündedir. 18 cm’lik kenarı içeren yan yüzün yüksekliği 13 cm, diğer kenarı içeren yan yüzün yüksekliği 15 cm’dir. Piramidin hacmi kaç cm³’tür?
7Kurmaca bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesiliyor; kesit alanı taban alanının 4/9’udur. Tepe ile kesit arasında kalan küçük piramidin hacmi 160 cm³’tür. Büyük piramidin hacmi kaç cm³’tür?
8Aşağıdaki kurmaca piramitlerin hepsinde dik yükseklik 12 cm’dir ve her tabanın alanı pozitiftir. Hangisinde dört yan yüzün yüksekliği birbirine eşittir?
9Kurmaca bir çadır kare tabanlı düzgün piramit biçimindedir; zemin kumaşı yoktur, yalnız dört yan yüz kumaşla kaplanır. Taban kenarı 6 m, tepeden bir taban köşesine giden köşe ipi (yan ayrıt) 5 m’dir. Kalınlık ve pay yok. Kullanılan kumaş kaç m²’dir?
10Kurmaca bir prizmanın hacmi 720 cm³’tür. Tabanı bu prizmanın tabanıyla aynı alanlı ve dik yüksekliği prizmanınkine eşit bir piramit, tabana paralel bir düzlemle tepeden toplam yüksekliğin yarısı kadar uzaklıkta kesiliyor. Tepede kalan küçük piramidin hacmi kaç cm³’tür?
Aklında kaldı mı?
Kare tabanlı düzgün piramitte h,ℓ,s hangi parçalardır?
htepeden taban merkezine dik uzaklık;ℓtepeden kenar ortasına yan yüz yüksekliği;s tepeden taban köşesine yan ayrıt.ℓ²=h²+(a/2)²,s²=h²+a²/2.
Çℓ/2yan alan bağıntısının ortak koşulu nedir?
Yan üçgenlerde ortak yüz yüksekliğiℓbulunmalıdır; düzgün piramitte bu sağlanır. Genel piramitte her üçgenin alanı kendi yüksekliğiyle ayrı hesaplanır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.