hepnotParalelkenar: iki paralel çift ve doğru yükseklik
Konunun mantığı
Bu derste ABCD sırasıyla köşeleri verilen, dejenere olmayan düzlemsel bir paralelkenar kullanacağız. AB∥CD ve AD∥BC olmalıdır; bir tek paralel kenar çifti tanım için yeterli değildir. Dikdörtgen ve kare de paralelkenarın özel durumlarıdır; fakat genel bir paralelkenarı çizimden dikdörtgen sayamayız.
Paralellik, karşı kenarların eşitliğini ve karşı iç açıların eşitliğini verir: AB=CD,AD=BC ve A=C,B=D. Komşu iç açılar 180°ye tamamlanır. Bu nedenle bir açı biliniyorsa karşısı aynı, komşusu bütünleridir. Dört açının hepsinin eşit olması için ek olarak dik açı durumu gerekir.
Köşegenler kesiştiklerinde birbirini ortalar. O=AC∩BD ise AO=OC ve BO=OD olur. Bu, iki köşegenin birbirine eşit olduğu ya da dik kesiştiği anlamına gelmez. Bir köşegenin yarısıyla ötekinin yarısını gerekçesiz eşitleme; eşit olanlar aynı köşegenin iki parçasıdır.
Alan, bir taban uzunluğu ile o tabana ait dik yüksekliğin çarpımıdır. h, paralel taban doğruları arasındaki dik uzaklıktır; eğik yan kenarın uzunluğu genellikle hdeğildir. Başka kenarı taban seçebilirsin, ama ona ait yüksekliği de değiştirmelisin. Örneğin iki ayrı taban–yükseklik çifti aynı alanı verir; kenarların çarpımı ancak uygun diklik varsa alan olur.
Alan formülü bir köşegenle oluşan iki üçgenin alanlarını toplayarak da görülebilir. Seçilen taban ve ona paralel karşı kenar arasındaki uzaklık sabitse, yana kaydırmayla alanın korunması beklenir; kenar uzunlukları veya çevre aynı kalmak zorunda değildir. Soruda her uzunluğun kenar mı, yarı köşegen mi, dik yükseklik mi olduğunu önce etiketle.
Paralelkenarda iki çift karşı kenar paraleldir. Karşı kenar/açılar eşit; komşu açılar bütünler. Köşegenler birbirini ortalar ama genellikle eşit veya dik değildir. Alan=taban×o tabana dik yükseklik; eğik yan kenarı yükseklik sanma.
Adım adım bir örnek
Tabanı 14 cm, bu tabana ait dik yüksekliği 9 cm olan bir paralelkenarın alanını iki temsille bulunuz.
Taban ve dik yükseklik
- Verilen 9 cm,14 cm tabana ait dik uzaklıktır.
- Alan 14×9=126 cm².
Sınır: 9 cm eğik yan kenar olsaydı aynı çarpım koşulsuz kullanılamazdı.
Köşegenle iki üçgene ayır
- Bir köşegen paralelkenarı iki eş alanlı üçgene ayırır. Her üçgen için taban 14, bu tabana ait yükseklik 9 alınabilir.
- Her birinin alanı 14×9/2=63; toplam 126 cm².
Sınır: İki üçgenin tabanları karşı paralel kenarlardır; aynı dik uzaklığı paylaşırlar. Bu, herhangi iki üçgenin alanlarının eşitliği iddiası değildir.
İkinci temsilde 9 cm yüksekliğin iki üçgende de kullanılmasını hangi paralellik sağlıyor?14 ve 9 yalnız iki komşu kenar olsaydı hangi veri eksik kalırdı?
Hatayı bul
“Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar; dolayısıyla AO=BOdur.” çıkarımının ilk hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Aynı köşegenin iki yarısının eşitliğini, farklı köşegenlerin yarılarının eşitliği sanmak.
Doğrusu AO=OC ve BO=OD dir. Genel durumda AC ileBD farklı uzunlukta olabilir; AO=BO için ek eşit köşegen koşulu gerekir.
Levhanın 12 cm tabanı ve 6 cm dik yüksekliği korunup üst taban yatayda kaydırılırsa alan ve eğik yan kenar için ne söylenebilir?
Paralelkenar ve aynı paralel taban doğruları korunuyorsa alan 72 cm²kalır. Eğik yan kenar ise değişebilir; yalnız taban ve yükseklik onun aynı uzunlukta kalmasını gerektirmez.
Dersin soruları
1ABCD paralelkenarında köşeler sırayla verilmiş; A iç açısı 64°. B iç açısı kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?2ABCD paralelkenarında AC veBD köşegenleri O’da kesişiyor. AO=2 x+1,OC=5 x−8,BO=4 cm; bütün uzunluklar santimetre. AC kaç santimetredir?
Bu soruda hata mı var?3Bir paralelkenar levhanın tabanı 12 cm, eğik yan kenarı 10 cm; bu 12 cm tabana ait dik yüksekliği 6 cm. Alanı kaç cm²dir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1ABCD paralelkenarında A açısı (4x+10)°, C açısı (2x+20)°’dir. B açısı kaç derecedir?
2ABCD paralelkenarında köşegenler O noktasında kesişir; AC=10 cm, BD=14 cm ve AB=8 cm’dir. AOB üçgeninin çevresi kaç cm’dir?
3Bir paralelkenarın 15 cm’lik kenarına ait dik yüksekliği 8 cm’dir. Komşu kenarı 10 cm olduğuna göre bu 10 cm’lik kenara ait dik yükseklik kaç cm’dir?
4ABCD bir dörtgendir. Aşağıdaki bilgilerden hangisi tek başına ABCD’nin paralelkenar olduğunu garanti eder?
5Bir paralelkenarın tabanı 3x cm, bu tabana ait dik yüksekliği (x+1) cm, eğik yan kenarı 5 cm ve alanı 18 cm²’dir. Taban kaç cm’dir?
6AC=12 cm, BD=8 cm ve AB=10 cm olan, köşegenleri O’da kesişen bir ABCD paralelkenarı var mıdır?
7ABCD paralelkenarının alanı 84 cm², AB kenarı 12 cm ve AD kenarı 8 cm’dir. AB tabanına ait dik yükseklik kaç cm’dir?
8Bir paralelkenarın çevresi 46 cm’dir ve AB kenarı BC kenarından 3 cm uzundur. CD kenarı kaç cm’dir?
9ABCD dörtgeninde yalnız AB ∥ CD olduğu bilinmektedir (AD ∥ BC bilgisi yoktur) ve A açısı 70°’dir. Bu bilgiyle hangisi kesinlikle söylenebilir?
10Bir paralelkenarın çevresi 66 cm, alanı 160 cm²’dir ve kenarlarından biri 13 cm’dir. Öteki komşu kenara ait dik yükseklik kaç cm’dir?
Aklında kaldı mı?
Paralelkenarda komşu açı ile karşı açı nasıl ayrılır?
Karşı açılar eşittir; komşu açılar 180°ye tamamlanır. Bütün açıların 90°olması genel tanımın değil özel dikdörtgen durumunun özelliğidir.
Tabanı değiştirince aynı yüksekliği kullanabilir miyiz?
Genellikle hayır. Her tabanla o tabana dik uzaklık eşleştirilir; alan=taban×ona ait yükseklik. Eğik yan kenar yükseklik değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.