YKS · GEOMETRİ

Hipotenüse yükseklik: AA benzerliği, izdüşüm ve Öklid bağıntıları

Bu derste Hipotenüse indirilen dikmenin oluşturduğu üçgenlerde açı ve kenar eşleşmesini kurar. Yükseklik ve dik kenar izdüşüm bağıntılarını koşullarıyla türetir. Parça-toplam, pozitiflik ve başlangıç dikliği koşullarını ters problemlerle denetler.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Öklid bağıntılarında izdüşüm eşleşmesi. A’da dik açı ve H’de dik yükseklik ayrı işaretlidir. Dik kenar u yeşil kendi izdüşümü p ile, v turuncu kesikli q ile eşleşir; c=p+q. İkinci panel küçük üçgenlerin AA eşleşmesini, üçüncü panel A dik değilken h²=pq’nun kullanılamayacağını gösterir. — **Öklid bağıntılarında izdüşüm eşleşmesi.** A’da dik açı ve H’de dik yükseklik ayrı işaretlidir. Dik kenar u yeşil kendi izdüşümü p ile, v turuncu kesikli q ile eşleşir; c=p+q. İkinci panel küçük üçgenlerin AA eşleşmesini, üçüncü panel A dik değilken h²=pq’nun kullanılamayacağını gösterir. Çizim ölçekli değildir; uzunluklar şekilden ölçülmez, soru verilerini temsil etmez. Bağıntılar yalnız A açısının dik verildiği ve H’nin B ile C arasında olduğu dejenere olmayan modelde geçerlidir; dik yükseklik tek başına bu koşulu kanıtlamaz.

Dejenere olmayan Öklid üçgeninde A açısı90°; H, A’dan BC hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı olsun. H bu modelde B ile C arasındadır. BH=p>0, HC=q>0, AH=h>0, AB=u>0, AC=v>0 ve BC=c=p+q diye tanımlıyoruz. İzdüşüm, burada bir dik kenarın hipotenüs üzerindeki karşılık gelen parçasıdır; AB için BH, AC için HC. Harflerin şeklin üzerindeki rastgele yakınlığından değil ortak uç ve dik izdüşümden eşleşme kurulur.

Büyük ABC ile HBA üçgenleri A↔H dik açı ve ortak B açısıyla AA benzerdir; kalan C↔A eşleşmesi belirlenir. Karşılıklı kenarlardan u/c=p/u, dolayısıyla u²=cp çıkar. Büyük ABC ile HAC için A↔H, C↔C ve B↔A eşleşmesiyle v/c=q/v; v²=cq olur. Aynı hipotenüs çarpanı c iki bağıntıda da bütün BCdir; diğer çarpan dik kenarın kendi izdüşümüdür, öteki parça değildir.

Küçük BHA ile AHC üçgenlerinde B↔A, H↔H, A↔C açı eşleşmesi vardır. Buna göre p/h=h/q; pozitif uzunluklarda h²=pq bulunur. Yükseklik iki parçanın geometrik ortalamasıdır; genel olarak aritmetik ortalamaları veya toplamları değildir. Örneğin p=q özel durumunda h=p=q olur, fakat bunu bütün dik üçgenlere taşıyamayız. Genel benzerlik oranı kanıtı her pozitif p,q için geçerlidir; birkaç sayı kontrolü onun yerine geçmez.

Aynı ilişkiler üç Pisagor eşitliğiyle başka bir temsilde denetlenebilir: u²=p²+h², v²=q²+h² ve c²=u²+v². c=p+q yazılıp karşılaştırılınca 2h²=2pq; buradan u²=p(p+q), v²=q(p+q) çıkar. Bu cebir dik üçgen ve dik yükseklik varsayımlarına dayanır. Ayrıca alanı dik kenarlarla veya hipotenüsle yazmak uv/2=ch/2 verir; uv=ch bir tutarlılık kontrolüdür, uzunlukları alanla birimsiz karıştırma izni değildir.

AH’nin BC’ye dik olması tek başına A açısının90° olduğunu söylemez; herhangi bir üçgende böyle bir yükseklik olabilir. h²=pq ve izdüşüm bağıntılarını kullanmadan başlangıç dikliğini doğrulamak gerekir. Ters problemde c ve h verildiğinde p+q=c,pq=h² koşulları birlikte çözülür; pozitif kökler ve p/q sırası denetlenir. Bir kök0 olursa dejenere durum doğar. Bu giriş bütün özel dik üçgen, trigonometrik veya farklı üçgen yükseklik bağıntılarını bitirmez.

KISACA

A90°,AH⊥BC,H içeride:p=BH,q=HC,c=p+q. AA ile u²=cp,v²=cq,h²=pq; alanla uv=ch. Tek başına dik yükseklik A90° kanıtı değildir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Özgün modelde A90° ve AH⊥BC; H, B ile C arasında. BH=3 birim,HC=12 birim. AH,AB ve AC uzunlukları bulunacak; bunlar p/q tanımındaki sırayla kullanılacak.

AA bağıntılarını eşleşmeyle kullan

c=3+12=15. h²=3·12=36,pozitif h=6.
AB²=c·BH=15·3=45; AB=3√5. AC²=c·HC=15·12=180; AC=6√5.
Alan kontrolü AB·AC=90=15·6=BC·AH.

Sınır: Yakın izdüşüm doğru kenarla eşleşir. BH veya HC bütün hipotenüs yerine kullanılamaz.

Üç dik üçgende cebirsel denetim

AB²=3²+h²,AC²=12²+h²; büyük dik üçgende AB²+AC²=15².
9+144+2h²=225 →h²=36 →h=6.
Küçük üçgenlere dönünce AB²=45 ve AC²=180 bulunur; aynı pozitif kökler elde edilir.

Sınır: Bu yaklaşım Pisagorla aynı modelin başka türetimidir; AA teoreminin sayısal ispatı değildir.

BH ile HC adları yer değiştirilse h aynı kalırken AB ve AC için hangi eşleşmeler değişir?

HATA AVI

Hatayı bul

Öğrenci “A90°,AH⊥BC iken AB²=BC·HC yazılır; h de hipotenüs parçalarının toplamıdır” diyor. İlk eşleşme hatası nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: AB dik kenarını kendi izdüşümü BH yerine öteki HC parçasıyla eşleştirmektir.

Tanımlanan sırada AB²=BC·BH,AC²=BC·HC olur. Yükseklik h²=BH·HC koşulundan pozitif kökle bulunur; toplam BH+HC hipotenüstür.

Çalışılmış örnekte p=3,q=12 yerine p=6,q=24 alınır ve aynı dik üçgen modeli korunursa h,u,v hangi ölçekte değişir?

Her parça iki kat; h² yeni durumda144, h=12 ile iki kat olur. c30,AB²180,AC²720; AB=6√5,AC=12√5 de iki katına çıkar. Uzunlukların kareleri dört kat olur; hyi pq gibi dört kat uzunluk saymayız.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

h²=pq bağıntısında yalnız AH⊥BC bilgisi yeterli mi?

Hayır. Büyük üçgende A90° ve Hnin hipotenüsteki ayağı olması gerekir. Her üçgenin dik yüksekliği vardır; hepsi bu bağıntıyı sağlamaz.

AB²=cp ve AC²=cq eşleşmeleri nereden gelir?

Büyük ve küçük dik üçgenlerin AA benzerliğinden. ABnin hipotenüsteki izdüşümü BH=p,ACnin HC=q; c ise bütün BC=p+q uzunluğudur.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.