hepnotKüre: yüzey, hacim, düzlem kesiti ve yarımküre sınırı
Konunun mantığı
Merkezi Ove yarıçapı R>0olan küresel yüzey, Oya uzaklığı tam Rolan noktaları belirtir; katı küre bunun iç bölgesini de kapsar. Bu derste alan için küresel yüzey, hacim ve düzlemsel daire kesiti için katı küre dili kullanılır. Çap D=2Rdir; verilen çapı doğrudan Ryerine yazmak alanı dört, hacmi sekiz kat büyütür. İç ölçü, kalın kabuk veya içi boş yapı sorulmadıkça bunları varsaymayız.
Küresel yüzeyin alanı S=4πR², katı kürenin hacmi V=4πR³/3bağıntılarıyla verilir. Bunlar geometrik teoremler olarak kullanılır; aşağıdaki birkaç hesap teoremlerin genel ispatı değildir. En büyük daire alanıπR²olup küresel yüzeyin alanıyla aynı şey değildir. Aynı sayısal katsayıların bazen rastlantıyla eşit çıkması da cm²ile cm³niceliklerini aynı yapmaz; uzunluk birimi baştan ortak tutulur.
Bir düzlemin Omerkezine dik uzaklığı d≥0olsun. d<Rise dikmenin ayağı Hkesit dairesinin merkezidir. Kesit çemberindeki herhangi bir Pnoktasında OHdüzleme dik olduğundan OHPdik üçgendir; OP=R,OH=dve HP=ρiçinρ²=R²−d²bulunur. Tüm Pnoktaları Hye aynı uzaklıkta olduğundan çember sınırı, iç noktalarıyla birlikte daire kesiti oluşur. Bu genel geometrik gerekçe yalnız bir sayısal tanıkla sınırlı değildir.
d=0durumundaρ=Rve merkezden geçen en büyük daire elde edilir.0<d<Riken kesit küçülür; d=Rde düzlem teğettir ve yalnız bir ortak nokta vardır, pozitif alanlı daire yoktur. d>Rde kesişim boştur; karekök içinin negatif olması gerçek düzlem kesitinin bulunmadığını gösterir.ρ=0teğet sınırını yarıçapı pozitif bir daireymiş gibi anlatmayız. Katı küreyi kesmekle yalnız küresel yüzeyin çember kesişimini saymak da ayrı dil düzeyleridir.
Merkez düzleminden iki eş parçaya ayrılan katı kürenin her yarımküresinde eğri yüzey2πR², yeni düz daire tabanıπR²dir. Parçanın bütün sınırını sayarsak3πR², yalnız eğri bölümü sayarsak2πR²kullanılır. İki ayrı parça için yeni iki daire yüzü ortaya çıkar; hacim kaybı olmayan ideal ayrımda toplam hacim korunur. Bu bir gerçek kesme/üretim talimatı değil matematik modelidir; kabuk kalınlığı ve alet payı yoktur.
Kürede Rçapın yarısıdır; yüzey4πR²,hacim4πR³/3. Merkezden düzleme uzaklık d<Rise kesit yarıçapı√(R²−d²); eşitlikte tek teğet nokta, daha büyük uzaklıkta kesişim yok. Yarımkürede düz tabanı sayıp saymadığını açıkla.
Adım adım bir örnek
Kurmaca ideal katı kürenin yarıçapı10cm. Bir düzlemin küre merkezine dik uzaklığı6cm. Daire kesitinin yarıçapı/alanı ve bütün kürenin yüzey alanı/hacmi ayrı soruluyor.
Dik izdüşüm ve Pisagor
- OH=6,OP=10olan dik üçgende HP=√(100−36)=8cm.
- Kesit dairesinin alanıπ·8²=64πcm².
- Küresel yüzey400πcm²; hacim4000π/3cm³. Kesit alanını bütün yüzey yerine kullanma.
Sınır: Dik uzaklık6cmolmalı; düzlem üzerindeki rastgele bir noktaya merkez uzaklığı bu hesapta yerine geçmez.
Merkezi orijin alan koordinat temsili
- Düzlemi z=6,merkezi(0,0,0)seç. Küresel yüzey x²+y²+z²=100,katı bölge≤100ile verilir.
- Düzlemde sınır x²+y²=64,katı kesit x²+y²≤64olur; yarıçap8ve daire alanı64πelde edilir.
- Bu temsil aynı dik uzaklık ilişkisini cebirle yazar; kürenin alan/hacim bağıntıları ayrıca uygulanır.
Sınır: Öklid uzayı ve birbirine dik ortak birimli eksenler kullanılır; kaynak şekli değil aynı modelin özgün ikinci temsilidir.
Birinci yöntemdeki Hnoktası ikinci temsilde hangi noktadır? Neden z=6kesiti için100yerine64kalıyor?
Hatayı bul
Öğrenci “Merkezden5cmuzak düzlemde kesit yarıçapı da5cmdir; yarımkürede toplam yüzey her zaman kürenin tam yarısıdır” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Düzleme dik merkez uzaklığını, düzlem içindeki kesit yarıçapıyla özdeş saymasıdır.
Kesit yarıçapıρiçinR²=d²+ρ²gerekir ve d<Rolmalı. Yarımkürede yalnız eğri yüzey tam yüzeyin yarısıdır; parçanın bütün sınırında düz daireyi de saymak gerekir.
Çalışılmış R=10cmkürede düzlemin merkez uzaklığı6cmden8cmye çıkarılırsa kesit ile bütün kürenin alan/hacmi nasıl değişir?
Yeni kesit yarıçapı√(100−64)=6cm,alan36πcm²olur; önceki8cmve64πye göre küçülür. Kürenin Rsi değişmediği için bütün yüzey400πcm²ve hacim4000π/3cm³kalır. Kesit düzleminin yeri değişmiş, bütün katı ölçeklenmemiştir.
Dersin soruları
1Kurmaca ideal katı kürenin çapı18cm. Küresel yüzey alanı ve katı hacmi ayrı hesaplanacak;πsembolik tutuluyor. Yüzey alanı / hacim ikilisi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Kurmaca katı kürenin yarıçapı13cm. Üç düzlemin merkeze dik uzaklıkları sırasıyla P:5cm,Q:13cm,T:14cm. Daire alanı yalnız pozitif daire kesiti varsa soruluyor. Hangi değerlendirme doğrudur?
Bu soruda hata mı var?3Kurmaca yarıçapı6cmolan katı küre, merkezinden geçen düzlemle hacim kaybı olmadan iki eş yarımküreye ayrılmış matematik modeli olarak ele alınıyor. İki parça birbirinden ayrı; her parçanın eğri yüzeyi ve yeni düz daire yüzü bir kez sayılıyor. İki parçanın bütün sınır alanlarının toplamı / hacimlerinin toplamı hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Küresel yüzey alanı 400π cm² olan bir kürenin çapı kaç cm’dir?
2Hacmi 36π cm³ olan katı kürenin küresel yüzey alanı kaç cm²’dir?
3Yarıçapı 17 cm olan katı kürenin bir düzlemle kesiti alanı 225π cm² olan bir dairedir. Düzlemin küre merkezine dik uzaklığı kaç cm’dir?
4Yarıçapı 5 cm olan katı kürenin merkezinden 3 cm ve 4 cm uzaklıktaki iki paralel düzlemle alınan daire kesitlerinin alanları sırasıyla A₃ ve A₄’tür. A₃ : A₄ oranı hangisidir?
5Toplam yüzey alanı (eğri yüzey ve düz taban birlikte) 108π cm² olan katı yarımkürenin yarıçapı kaç cm’dir?
6Yarıçapı 8 cm olan katı küre, merkezinden geçen ve birbirine dik iki düzlemle dört eş çeyrek küreye ayrılıyor (hacim kaybı yok). Dört parçanın bütün sınır alanlarının toplamı, ilk kürenin yüzey alanından kaç cm² fazladır?
7R=25 cm olan bir katı kürenin merkezine dik uzaklığı 7 cm olan düzlemle kesişimi inceleniyor. Bu kesit dairesinin alanının, kürenin merkezden geçen en büyük kesit dairesinin alanına oranı kaçtır?
8Çapı 6 cm olan bir kürenin çapı 9 cm’ye çıkarılıyor. Küresel yüzey alanındaki artış kaç cm²’dir?
9R=10 cm olan katı kürenin merkezine dik uzaklıkları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan üç paralel düzlemle kesitleri alınıyor. Düzlemlerin küreyle ortak noktalarından oluşan dairelerin alanları toplamı kaç cm²’dir?
10Yarıçapı 6 cm olan bir katı küre, matematik modelinde kayıpsız eritilip yarıçapı 3 cm olan eş katı kürelere dönüştürülüyor. Kaç küre elde edilir?
Aklında kaldı mı?
d<R,d=R,d>Rküre–düzlem ilişkileri nedir?
İlkinde katı kesitiρ=√(R²−d²)yarıçaplı daire; ikincide tek teğet nokta; üçüncüde boş kesişim. Yalnız küresel yüzey incelenirse ilk sınır bir çemberdir.
Yarımkürenin yalnız eğri alanı ile bütün sınır alanı nasıl ayrılır?
Eğri alan2πR²dir. Merkez kesitindeki düz taban da sayılırsaπR²eklenir,toplam3πR²olur. Hangi yüzün sayıldığı soruda belirtilmelidir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.