YKS · GEOMETRİ

Kenarortay uzunluğu: Apollonius bağıntısı ve üçgen varlığı

Bu derste Kenarortay uzunluk bağıntısını genel koordinat/Pisagor gerekçesiyle kurar. Kenarortayın karşı kenara dik olması gerekmeden doğru bağıntıyı kullanır. Pozitif formül adayıyla sıkı üçgen eşitsizliğini ayrı kontrol eder.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Apollonius bağıntısının koordinat modeli. D orijin, B(−a/2,0), C(a/2,0) ve genel A(x,y); dik izdüşüm H(x,0) D’den ayrı çizilir. Eğik m ile |y| yüksekliği farklı renklerdedir; uzaklık kareleri 4m²=2b²+2c²−a² verir. İkinci panel H=D çakışmasının yalnız b=c özel durumunda olduğunu ve üçgen varlık denetimini gösterir. — **Apollonius bağıntısının koordinat modeli.** D orijin, B(−a/2,0), C(a/2,0) ve genel A(x,y); dik izdüşüm H(x,0) D’den ayrı çizilir. Eğik m ile |y| yüksekliği farklı renklerdedir; uzaklık kareleri 4m²=2b²+2c²−a² verir. İkinci panel H=D çakışmasının yalnız b=c özel durumunda olduğunu ve üçgen varlık denetimini gösterir. Çizim ölçekli değildir; uzunluklar şekilden ölçülmez ve soru verilerini temsil etmez. A’nın konumu genel bir örnektir; x’in işareti veya büyüklüğü bağıntıyı değiştirmez. Formülün pozitif sonuç vermesi üçgenin varlığını tek başına kanıtlamaz; sıkı üçgen eşitsizliği ayrıca denetlenir.

Pozitif alanlı ABC üçgeninde BC=a, AC=b, AB=c ve D,BC’nin orta noktası olsun; AD=m uzunluğu bu kenara ait kenarortaydır. a,b,c,m pozitiftir. D orta nokta olduğu için BD=DC=a/2dir; A’dan D’ye çizginin BC’ye dik olduğu verilmez. Önceki ders kenarortay kesişimi ve alan paylarını anlatıyordu. Burada üç kenar verisinden kenarortay uzunluğunun nasıl belirlendiği ve aday uzunluğun geçerli geometriden gelip gelmediği incelenir.

Apollonius bağıntısı bu etiketlerle4m²=2b²+2c²−a², yani m²=(2b²+2c²−a²)/4 biçimindedir. Çıkarılan kare, kenarortayın indiği karşı kenarın bütün a uzunluğunun karesidir; a/2yi a yerine koyma. İki komşu kenarın kareleri2 ile çarpılır; uzunluklar değil kareler toplanır. Son adımda m²den pozitif m’ye karekök alınır. Üçgenin başka köşesinden kenarortay aranırsa karşı kenar ve komşu kenar rolleri yeniden eşleştirilir.

Genel gerekçe için D=(0,0), B=(−a/2,0), C=(a/2,0), A=(x,y) seç; y≠0 pozitif alan koşuludur. Düzlemi döndürüp taşıyarak bu konum seçilebilir; A’nın dik izdüşümünün D olduğu varsayılmamıştır. Uzaklık karelerinden c²=(x+a/2)²+y², b²=(x−a/2)²+y² ve m²=x²+y² olur. İlk ikisini toplayınca zıt ax terimleri gider: b²+c²=2(x²+y²)+a²/2=2m²+a²/2. Düzenlemek4m²=2b²+2c²−a² verir. Bu sembolik türetim izin verilen bütün x ve y≠0 için geçerlidir; birkaç sayısal tanığın sağlaması onun yerine geçmez.

ADyi yanlışlıkla dik yükseklik saymak genel olarak m²=b²−(a/2)² veya c²−(a/2)² yazmaya yol açar. Bu iki yazım ancak uygun ek simetri/diklik koşuluyla gerekçelenebilir. Koordinat türetiminde x sıfır olmak zorunda değildir; m² hem x²yi hem y²yi içerir. b=c ikizkenar özel durumunda x=0 olur ve kenarortay yükseklikle çakışır. A açısı90° olan başka bir özel durumda ise b²+c²=a² yazılınca m²=a²/4, m=a/2 elde edilir; bu, bütün üçgenlere ait bir yarım taban kuralı değildir.

Bir ters problemde kökün içinin pozitif çıkması tek başına üç kenarın bir üçgen kurduğunu kanıtlamaz. a,b,c>0 ve a+b>c, a+c>b, b+c>a sıkı eşitsizlikleri ayrıca gerekir. Örneğin formülde cebirsel olarak pozitif sonuç veren fakat bir kenarı diğer ikisinin toplamından büyük olan sayılar yine gerçek üçgen oluşturmaz. Eşitlik pozitif alanı bozar. Geçerli üçgenden türeyen m pozitiftir; sadece formül yazıp bu varlık denetimini atlamak doğru değildir. Bu dar giriş bütün kenarortay eşitsizlikleri ve özel doğruların tamamı değildir.

KISACA

BC=a,AC=b,AB=c ve D orta noktayken4m²=2b²+2c²−a². Genel koordinat gerekçesi ADye diklik eklemez. Pozitif kök al; ayrıca kenarlar pozitif ve sıkı üçgen eşitsizliği geçerli olmalı. Pozitif formül adayı tek başına üçgen varlığı değildir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Özgün ABC üçgeninde BC=12, AB=10, AC=14 birimdir. D,BC’nin orta noktasıdır; AD’nin dik veya açıortay olduğu verilmemiştir. AD=m uzunluğunu bulunuz; uygun bir koordinat modeliyle de denetleyiniz.

Karşı kenarı ayırarak bağıntı

Kenarlar pozitiftir ve10+12>14; üçgen vardır. a12,b14,c10.
4m²=2·14²+2·10²−12²=392+200−144=448; m²=112.
Pozitif uzunluk m=4√7 birimdir; m²112yi m diye yazmayız.

Sınır: Kenarortay uzunluğu genel bağıntıyla bulunur;12/2=6 onun indiği tabanın yarısıdır, m değil.

Orta nokta merkezli koordinat denetimi

B=(−6,0),C=(6,0),D=(0,0) seç. Uzaklıkların farkından c²−b²=24x=100−196=−96 →x=−4.
AB²=(−4+6)²+y²=100 →y²=96; y=4√6 seçilebilir.
AD²=x²+y²=16+96=112; AD4√7. Dik yükseklik4√6 farklıdır; x≠0 olduğundan ADyi yükseklik sanmayız.

Sınır: Bu belirli koordinat tanığı verilen sayıları ve genel türetimi denetler; genel Apollonius ispatı foundationdaki sembolik toplamdır.

A’nın yatay koordinatının−4 çıkması, kenarortaya doğrudan Pisagorla “14²−6²” yazma varsayımını neden bozar?

HATA AVI

Hatayı bul

“D orta nokta olduğundan AD⊥BCdir; bu nedenle her üçgende m²=b²−(a/2)² yazılır.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Kenarortayın orta nokta tanımına verilmemiş dikliği eklemesidir.

Genel üçgende AD eğik olabilir. Orta nokta merkezli koordinatlarda m²=x²+y²; x sıfır olmak zorunda değildir. Genel bağıntı4m²=2b²+2c²−a²dir; yükseklikle çakışma ek özel koşul ister.

Çalışılmış örnekte a12 sabitken b ve c’nin14 ile10 değerleri yer değiştirse m değişir mi? A’nın orta nokta merkezli yatay konumu ne olur?

m² komşu b,c karelerinin simetrik toplamını içerdiğinden112 ve m4√7 değişmez. x=(c²−b²)/(2a) işaret değiştirir:−4 yerine+4; aynı yüksekliğin iki yandaki yansıması seçilebilir. m’nin korunması kenarortayın yüksekliğe dönüştüğünü göstermez. Yakın model uygulamasıdır.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

BC=a,AC=b,AB=c ise A’dan kenarortay uzunluğu hangi genel bağıntıyla bulunur?

m²=(2b²+2c²−a²)/4; m pozitif kareköktür. Karşı bütün kenar a çıkarılır; ADye diklik eklenmez. Genel gerekçe, orta nokta merkezli koordinatlarda iki uzaklık karesinin toplamıdır.

Pozitif Apollonius kökü neden tek başına üçgenin varlığını kanıtlamaz?

a,b,c>0 ve sıkı üçgen eşitsizlikleri ayrıca gerekir. Geçersiz kenarlarda da cebirsel ifade pozitif olabilir; teorem gerçek pozitif alanlı üçgen koşuluna dayanır.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.