hepnotKenarortay ve ağırlık merkezi: kesişme, köşeden2:1 ve alan
Konunun mantığı
Pozitif alanlı ABC üçgeninde D, BC’nin orta noktasıysa BD=DC>0dır ve A’yı D’ye birleştiren AD doğru parçası BC’ye ait kenarortaydır. Kenarortay karşı kenarı ortalar; kendi uzunluğunu iki eş parçaya bölmek tanımı değildir. Açıortay köşe açısını, yükseklik ise karşı kenar doğrusuna dikliği konu alır. Bunlar genel üçgende aynı parça değildir. İkizkenar üçgenin tepesinden tabana çizilen özel parçada çakışabilirler; bu özel sonucu bütün üçgenlere taşımayız.
Üç kenarortay üçgenin içinde tek bir G noktasında kesişir; bu noktaya geometrik ağırlık merkezi denir. D orta nokta olduğunda A,G,D sırasıyla aynı kenarortay üzerinde ve AG:GD=2:1dir. Böylece AG=(2/3)AD, GD=(1/3)AD olur; uzun parça köşe tarafındadır. Bu oran, kenarortayın BCyi ortalamasıyla farklı ilişkidir: BD=DC tabandaki1:1, AG:GD ise kenarortayın içindeki2:1dir. Burada fiziksel bir cismin farklı yoğunluklarını veya asma deneyini incelemiyoruz; merkez üçgen geometrisinin noktasıdır.
Oranın geometrik gerekçesi için D,BCnin; E,ACnin orta noktaları olsun ve AD ile BE, Gde kesişsin. Orta tabandan DE∥AB ve DE=AB/2dir. G,D,A doğrusal, G,E,B doğrusal olduğundan GDE ile GAB üçgenlerinde açı eşleşmesi G↔G, D↔A, E↔Bdir; biri içte öteki ters tarafta olsa da açı eşlikleri korunur. AA benzerliğinden GD/GA=GE/GB=DE/AB=1/2 çıkar: AG:GD=BG:GE=2:1. Üçüncü kenarortayı AD ile kestirince aynı orta taban gerekçesi AD üzerinde yine köşeden2:1 noktasını verir; bu iç nokta tek olduğu için o kesişim de Gdir. Böylece eşzamanlı kesişim yalnız tek sayısal örneğin ölçümüne dayandırılmaz.
Kenarortay iki eş alan kurar: ABD ve ACD üçgenlerinin tabanları BD=DC ve bu tabanların bulunduğu BC doğrusuna A’dan dik yükseklikleri aynıdır. Alan=taban×yükseklik/2 olduğundan alanlar eşittir; dikme ayağının D olması gerekmez. G, ADnin D’ye yakın üçte bir noktasında olduğundan BC doğrusuna dik uzaklığı A’nın uzaklığının üçte biridir; aynı taban BC ile [GBC]=[ABC]/3 olur. Bu uzaklık oranı paralel tabanlara ait benzer dik üçgenlerle gerekçelenebilir; eğik AG uzunluğunu doğrudan BC yüksekliği saymayız.
D,BCnin; E,ACnin; F,ABnin orta noktalarıysa üç kenarortay altı küçük üçgen kurar. GBD ve GCD aynı G yüksekliğiyle eş tabanlardan eş alanlıdır; birlikte [GBC]=[ABC]/3 oldukları için her biri toplamın1/6sıdır. Aynı gerekçe diğer kenarlarda da uygulanır; altı alan eşit olur. GAB, GBC ve GCA ise toplamın üçte birer alanını taşır. Eş alan şekillerin kenar/açı bakımından eş olduğunu söylemez. Bu dar giriş bütün kenarortay uzunluğu bağıntıları veya fiziksel ağırlık merkezi uygulamalarını tüketmez; alan sembollerini uzunluklarla karıştırmayız.
D,BCnin ortasıysa AD kenarortaydır. Üç kenarortay içeride Gde kesişir; AG:GD=2:1. Kenarortay eş taban/ortak yükseklikten iki eş alan kurar; üç kenarortay altı eş alan verir. Eş alan, eş üçgen veya diklik/açıortay garantisi değildir.
Adım adım bir örnek
Özgün ABC üçgeninde D,BCnin; E,ACnin orta noktası; AD ve BE, Gde kesişiyor. AD=21 birim ve [ABC]=90 birimkare. Üçgen pozitif alanlı; ADnin dik veya açıortay olduğu verilmemiştir. AG, GD ve [GBD] incelenecek.
Kenarortay teoremi ve ortak taban
- İki kenarortayın kesişimi G ağırlık merkezidir. AD=3k=21 olduğundan k=7, AG=14 ve GD=7 birimdir.
- Gnin BCye yüksekliği A’nın yüksekliğinin1/3üdür; aynı BC tabanıyla [GBC]=90/3=30 birimkare.
- BD=DC ve ortak G yüksekliğiyle [GBD]=[GCD]=30/2=15 birimkaredir.
Sınır: AG veya GD eğik uzunluklarını BCye dik yükseklik yerine doğrudan koymayız. Oran, kenarortay ve G koşullarına dayanır.
Önce eş yarım alan, sonra aynı doğru üzerindeki taban payı
- Kenarortay AD, ortak A yüksekliği/eş tabanla [ABD]=[ACD]=45 birimkare yapar.
- ABD içinde GD ve AD aynı doğru üzerindedir; Bden bu doğruya yükseklik ortaktır. Bu nedenle [GBD]/[ABD]=GD/AD=1/3. Sonuç45/3=15 birimkare.
- Uzunluklarda AG/GD=2 ve AG+GD=21 denklemleri yine14 ve7yi verir.
Sınır: İki alan hesabı aynı kenarortay ve oran bilgisinin farklı taban seçimleridir; birbirinden bağımsız yeni bir teorem iddiası yoktur.
İki yöntemde ortak dik yükseklik hangi köşeden hangi doğruya aittir; neden ADnin yüksekliği olması gerekmiyor?
Hatayı bul
“AD kenarortay ve G ağırlık merkeziyse AG=GDdir; ayrıca BD=DC olduğundan AD mutlaka yükseklik olur ve ABD ile ACD eştir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Tabandaki BD=DC orta nokta1:1 ilişkisini kenarortay üzerinde AG:GDye aktarmasıdır; ağırlık merkezi köşeden2:1 böler.
AG=2GD ve AD=3GD. Kenarortay iki eş alanı ortak dik yükseklikten verir; diklik ve üçgen eşliği ek koşul ister. Genel üçgende ADnin kendisi dik yükseklik veya açıortay değildir.
Çalışılmış örnekte D orta nokta kalıp G için yalnız AD üzerinde bir iç nokta bilgisi verilseydi, AG14/GD7 ve [GBD]15 sonuçları zorunlu kalır mıydı?
Hayır. AD kenarortay olduğu için [ABD]=[ACD]=45 kalır; fakat Gnin başka kenarortayla kesişimi veya2:1 koşulu olmadan GD/AD belirlenmez. [GBD]/45=GD/AD bağıntısı ortak B yüksekliğinden sürer ama sayısal alan değişebilir. Bu eksik öncül karşılaştırması yakın uygulamadır, öğrenci aktarım başarısı ölçümü değildir.
Dersin soruları
1Özgün ABC üçgeninde D,BCnin orta noktasıdır; G üç kenarortayın kesişimidir. GD=5 birim, [ABC]=66 birimkare verilmiştir. Başka diklik veya eş kenar bilgisi yoktur. (AG,AD,[GBC]) sırası hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Özgün pozitif alanlı ABCde D,BCnin; E,ACnin; F,ABnin orta noktasıdır. Üç kenarortay Gde kesişir. [GCE]=8 birimkaredir. Bu soruda parantezli üç harf alanı gösterir; küçük üçgenlerin eşlik bilgisi verilmemiştir. Hangi sonuç zorunludur?
Bu soruda hata mı var?3Özgün ABC üçgeninde AB=13, AC=15, BC=14 birimdir. D,BCnin orta noktası; AD kenarortaydır. Kenarlar sıkı üçgen eşitsizliğini sağlar; soruda pozitif alanlı Öklid üçgeni kullanılır. AD ve iki yan üçgen hakkında hangi değerlendirme doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1ABC üçgeninde D, BC’nin orta noktası ve G ağırlık merkezidir. AG=12 cm ise AD kenarortayı kaç santimetredir?
2ABC üçgeninde AD bir kenarortay, G ağırlık merkezidir. AG=(3x−2) cm ve GD=(x+4) cm ise AD kaç santimetredir?
3ABC üçgeninde AD kenarortay, G ağırlık merkezidir ve [ABC]=54 cm²’dir. [GBC] kaç cm²’dir?
4ABC üçgeninde F, AB’nin; E, AC’nin orta noktasıdır. CF ve BE kenarortayları G’de kesişir ve [ABC]=60 cm²’dir. AFGE dörtgeninin alanı kaç cm²’dir?
5ABC üçgeninde AB=9 cm ve AC=12 cm’dir. D, BC’nin orta noktası ve [ABD]=24 cm² ise [ACD] kaç cm²’dir?
6ABC üçgeninde D noktası BC üzerindedir. Aşağıdakilerden hangisi AD’nin bir kenarortay olmasını sağlar?
7ABC üçgeninde AD ve BE kenarortayları G’de kesişir. AD=9 cm ve BE=12 cm ise AG+BG kaç santimetredir?
8ABC üçgeninde D, BC’nin orta noktasıdır; G ağırlık merkezidir. [GDC] / [ABC] oranı kaçtır?
9ABC üçgeninde AB=AC=10 cm, BC=12 cm; D, BC’nin orta noktası ve G ağırlık merkezidir. Hangisi kesinlikle doğrudur?
10ABC üçgeninde AD, BE ve CF kenarortayları G’de kesişir. [GAB]=[GBC]=[GCA] olduğu bilindiğine göre hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Kenarortay ve ağırlık merkezi için iki farklı oran hangileridir?
D,BCnin ortasıysa BD:DC=1:1dir. G ağırlık merkeziyse AD üzerinde köşeden AG:GD=2:1, AG/AD=2/3 ve GD/AD=1/3 olur.
Kenarortay neden eş alan verir; eş alan neyi garanti etmez?
ABD ve ACD eş BD/DC tabanları ve aynı A–BC dik yüksekliğini paylaşır. Eş alan, ADnin dik/açıortay olması veya iki üçgenin eş kenar ve açılara sahip olması demek değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.