YKS · GEOMETRİ

Doğru parçasını iç oranda bölme: yönlü pay ve ters ağırlık

Bu derste AM:MB oranını toplam AB içindeki AM payına dönüştürür. İç bölme noktasını koordinat değişimi veya ağırlıklı toplamla kurar; ağırlıkları uçlara ters atamaz. Pozitif oran ve parça üzerinde bulunma koşulunu korur; uç sırasını değiştirdiğinde oranı günceller.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Toplam yolun payı ve ters ağırlık. Birinci panel AM:MB=m:n iken A’dan gidilen payın m/(m+n) olduğunu parantezlerle gösterir. İkinci panel aynı t payının hem yatay hem düşey değişime uygulandığını aynı renkli oklarla gösterir ve ağırlıklı ortalamada katsayıların ters sırasını belirtir. Üçüncü panel uçların adı değişince oranın n:m olduğunu gösterir. — **Toplam yolun payı ve ters ağırlık.** Birinci panel AM:MB=m:n iken A’dan gidilen payın m/(m+n) olduğunu parantezlerle gösterir. İkinci panel aynı t payının hem yatay hem düşey değişime uygulandığını aynı renkli oklarla gösterir ve ağırlıklı ortalamada katsayıların ters sırasını belirtir. Üçüncü panel uçların adı değişince oranın n:m olduğunu gösterir. Çizim ölçekli değildir; ızgara numarasızdır, m:n oranı ve koordinatlar şekilden ölçülmez, hiçbir soru verisini temsil etmez. Yalnız pozitif m, n ile [AB] içinde bölme modelidir; dıştan bölme ve yönlü oran kapsam dışıdır.

Eş birimli dik koordinat düzleminde farklı A ve B uçları verilsin. Mnin [AB] üzerinde ve |AM|:|MB|=m:n olduğu söylensin; m,n pozitiftir. Bu koşulda M uçların arasında bulunur ve |AB|=(m+n) ortak oran birimidir. Adı verilen ilk parça AMdir; A’dan M’ye gidilen pay toplamın m/(m+n) kadarıdır. m/n oranını doğrudan toplam yolun payı sanmak farklı bir yer verir.

A=(xA,yA), B=(xB,yB) için A’dan B’ye yönlü koordinat değişimi (xB−xA,yB−yA)dır. t=m/(m+n) dersek M=A+t(B−A) olur. Çünkü aynı doğru üzerinde A’dan ilerlenen uzunluk ABnin t katıdır; yönlü yatay ve düşey değişimler de aynı t ile ölçeklenir. Bu gerekçe yatay veya düşey parçada da geçerlidir; sabit kalan koordinatı oran kurmak için sıfıra bölmeyiz.

A+t(B−A) açılırsa M=(nA+mB)/(m+n) elde edilir; yani xM=(n xA+m xB)/(m+n), yM=(n yA+m yB)/(m+n). Burada A katsayısı n, B katsayısı mdir. Formülü ezberlerken m,n adlarını uçlara aynı sırayla koymak sık hatadır. Örneğin AM küçükse M A’ya yakın olmalıdır; A’nın ağırlığı daha büyüktür. Önce toplam yol payını bulmak, ağırlıkların neden ters sırada göründüğünü açıklar.

Pozitif m,n için 0<t<1dir; M=(1−t)A+tB uçların arasındaki noktadır. Her koordinat ilgili uç koordinatlarının arasında kalır; uçlarda o koordinat aynıysa Mde de aynı kalır. Ancak sadece koordinatların ayrı aralıklarda bulunması düzlemde parça üzerinde olmanın tek başına kanıtı değildir; iki koordinat aynı tyi kullanmalıdır. Uçlar çakışırsa pozitif uzunluk parçalarıyla verilen bu oran modeli geçerli olmaz.

m=n olursa orta nokta özel durumu çıkar; fakat 1:1 olmayan oranlar orta noktaya indirgenmez. Uçların adları yer değiştirdiğinde aynı M için BM:MA=n:mdir. A ile B’yi değiştirip m:n oranını aynen tutmak genellikle başka bir nokta verir. Bu derste dıştan bölme, negatif yönlü oran veya bütün analitik geometri kapsamı tamamlanmaz; çizim planı ve sonlu hesaplar genel gerekçenin yerine konmaz.

KISACA

AM:MB=m:n, m,n>0 için A’dan toplam yolun m/(m+n) kadarı gidilir. M=A+[m/(m+n)](B−A)=(nA+mB)/(m+n). Uçları ters çevirince aynı noktanın oranı da ters döner.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Özgün örnekte A=(−8,3), B=(12,−7). M, [AB] üzerinde ve |AM|:|MB|=3:2. Koordinatlar aynı uzunluk birimini kullanan dik eksenlerdedir.

A’dan toplam değişimin payı

Toplam oran birimi 3+2=5; A’dan gidilecek pay t=3/5.
B−A=(20,−10); bunun 3/5i (12,−6)dır.
M=(−8,3)+(12,−6)=(4,−3).

Sınır: 3/2 toplam değişimin payı değildir; 3/5 kullanılır. Mnin içte olduğu pozitif payla doğrulanır.

Uçları ters ağırlıkla birleştir

A ağırlığı 2, B ağırlığı 3: M=(2A+3B)/5.
xM=(−16+36)/5=4, yM=(6−21)/5=−3.
A’dan M’ye değişim (12,−6), M’den B’ye (8,−4); iki yönlü değişim aynı doğrultuda ve 3:2 oranındadır.

Sınır: Bu ikinci temsil aynı genel iç bölme bağıntısının cebirsel açılımıdır; sayısal eşleşme tek başına genel ispat sayılmaz.

A ve B adları yer değiştirse aynı M için yeni ilk parça oranı kaç olmalıdır?

HATA AVI

Hatayı bul

“AM:MB=1:3 ise M=(A+3B)/4 olur; M B’ye daha yakın çıkmalı” yorumunun ilk hatası nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: İlk oran parçasını toplam yol payına çevirmeden uç ağırlıklarını yanlış sıraya atamasıdır.

AM toplamın 1/4ü olduğundan M=A+(B−A)/4=(3A+B)/4; M A’ya daha yakındır. Aynı noktada uç adları ters çevrilirse parça oranı da ters çevrilir.

Çalışılmış örnekte aynı M korunarak başlangıç ucu B, bitiş ucu A diye yeniden adlandırılırsa oran ve toplam pay nasıl yazılır?

BM:MA=2:3; Bden Mye toplam değişimin 2/5i gidilir. B+(2/5)(A−B)=(4,−3) yine aynı Mdir. Uçları değiştirip 3:2yi aynen tutmak genellikle farklı nokta üretir.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

AM:MB=m:n verildiğinde Mnin A’dan toplam değişim payı nedir?

m/(m+n). m/n, AM/MBdir; AM/AB değildir. M=A+[m/(m+n)](B−A), farklı uçlar ve pozitif m,n için iç noktadır.

M=(nA+mB)/(m+n) ifadesinde ağırlıklar neden uçlara ters sırada gelir?

A+[m/(m+n)](B−A) açılınca Anın katsayısı n/(m+n), Bnin m/(m+n) olur. AM küçükse M Aya yakındır ve Anın ağırlığı büyüktür.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.