hepnotÖteleme, doğruya göre yansıma ve dönme: sıra ve korunanlar
Konunun mantığı
Bu girişte Öklid düzleminde aynı ölçekli dik koordinat eksenleri kullanılır. Bir şekli dönüştürmek, bütün noktalarına aynı belirtilmiş kuralı uygulamaktır; yalnız bir köşeyi oynatmak değildir. T(a,b) ötelemesi (x,y) noktasını (x+a,y+b) noktasına götürür. a ve b işaretli bileşenlerdir: negatif a sola, negatif b aşağı yön verir. İki noktanın koordinat farklarında ortak eklemeler silindiğinden aralarındaki uzaklık değişmez.
Bir doğruya göre yansımada doğru üzerindeki noktalar sabit kalır; doğru dışında nokta ile görüntüsünü birleştiren parçayı yansıma doğrusu dik ortalar. x eksenine göre (x,−y), y eksenine göre (−x,y) elde edilir. Bu kurallar yalnız belirtilen eksenler içindir; örneğin x=c doğrusu için x bileşeni 2c−x olur, otomatik olarak −x değildir. Nokta simetrisi ile doğruya göre yansıma aynı işlem sayılmaz: orijine göre nokta simetrisi (−x,−y), 180° dönmeye karşılık gelir.
Bir dönme için merkez, açı ve yön gerekir. Burada pozitif açı saat yönünün tersidir; açılar aksi söylenmedikçe dereceyle verilir. Orijin çevresinde +90° dönme (−y,x), −90° dönme (y,−x) verir. C(h,k) çevresinde işlem için önce (x−h,y−k) göreli vektörünü döndürür, sonra (h,k) ekleriz. Merkezdeki nokta sabittir. Başka merkezli dönmeye orijin formülünü doğrudan uygulamak, merkezden uzaklığı korumayabilir.
Öteleme, doğruya göre yansıma ve dönme; uzaklıkları, açı büyüklüklerini ve sıradan geometrik alanı korur. Ancak doğrusal olmayan sıralı üç köşenin saat yönü/saat yönünün tersi dolaşımı bakımından tek doğru yansıması yönelimi tersine çevirir; dönme ve öteleme korur. Bu, uzunluk veya pozitif alanın işaret değiştirmesi değildir. Koordinatla hesaplanan işaretli alan yönelim bilgisini taşır; onun mutlak değeri geometrik alandır. Bir şekil simetrikse görüntü kümesi aynı kalsa da tek tek etiketli noktalar yer değiştirebilir.
Birden çok dönüşümde metindeki sıra korunur: ikinci kural ilk görüntüye uygulanır. Genel olarak dönüştürme sırasını değiştirmek aynı görüntüyü vermez; özel bir noktada çakışması da bütün düzlemde eşitlik kanıtı değildir. Bir dönüşüm kuralının uzunluk koruduğunu genel olarak göstermek için keyfî iki noktanın farklarıyla cebir yapılabilir. Birkaç koordinat tanığı ise yalnız o örneklerde hesap denetimidir. Sonuçta merkezden uzaklık, eksene uzaklık veya uzunluk kontrolü, işaret hatalarını yakalamaya yardım eder.
Ötelemede ortak vektör eklenir; eksen yansımasında uygun işaret değişir. Başka merkezli dönmede merkez çıkarılır, vektör döndürülür, merkez eklenir. Uzunluk ve geometrik alan korunur; tek doğru yansıması yönelimi tersine çevirir. Dönüşüm sırası genel olarak önemlidir.
Adım adım bir örnek
P(−4,3) ve Q(2,−1) noktalarının ikisi de T(3,−2) ile öteleniyor. Görüntüleri ve PQ uzunluğunun korunmasını iki temsille gösteriniz.
Koordinat farkları
- P′=(−1,1), Q′=(5,−3). Eski fark Q−P=(6,−4), yeni fark Q′−P′=(6,−4).
- Her iki uzunluk √(36+16)=2√13 birimdir; ortak ekleme farkı değiştirmez.
Sınır: Bu sayısal tanık bütün dönüşümler için ispat değildir; ötelemenin genel fark cebri ayrıca açıklanmıştır.
Vektör zinciri
- Pden Qya yönlü yer değiştirme (6,−4)tür. İki uç aynı (3,−2) vektörüyle taşınır.
- (Q+v)−(P+v)=Q−P eşitliğinde v silinir; bu nedenle aynı yer değiştirme vektörü ve uzunluk kalır.
Sınır: Aynı ötelemenin cebirsel temsilidir; yalnız tek uca v eklenirse sonuç uygulanmaz.
Yalnız Q ötelenirse ortak vektörün silinmesi adımı neden yapılamaz?
Hatayı bul
“Yansıma alanı koruduğuna göre A,B,C köşelerinin saat yönünün tersine dolaşımı da mutlaka korunur.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Pozitif geometrik alan ile etiketli köşelerin yönelimini özdeşleştirmek.
Tek doğru yansıması geometrik alanı korur, yönelimi tersine çevirir. İşaretli alanın işareti değişebilir; mutlak değeri aynı kalır.
I ve II dizilerindeki öteleme T(5,−1) yerine T(0,−1) olsaydı, yalnız Pde değil bütün noktalarda y ekseni yansımasıyla sıra değişebilir miydi?
Evet. Yansıma S(x,y)=(−x,y) için S(T(x,y))=(−x,y−1) ve T(S(x,y))=(−x,y−1). Bu özel vektör y ekseni boyunca olduğu için eşitlik keyfî (x,y) üzerinde cebirle gösterilir; genel bütün ötelemeler için söylenmez.
Dersin soruları
1P(1,5) noktası C(−2,1) merkezi çevresinde saat yönünde 90° döndürülüyor. Pnin görüntüsü hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2P(−3,2) için I: önce T(5,−1) ötelemesi, sonra y eksenine göre yansıma; II: önce y eksenine göre yansıma, sonra T(5,−1) ötelemesi uygulanıyor. (I görüntüsü; II görüntüsü) çifti hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3A(0,0), B(4,0), C(1,3) üçgeninin bütün köşeleri önce x eksenine göre yansıtılıp sonra orijin çevresinde saat yönünün tersine 90° döndürülüyor; etiket sırası A,B,C korunuyor. D=(xB−xA)(yC−yA)−(yB−yA)(xC−xA) işaretli iki kat alan olarak tanımlı. Son görüntünün D değeri kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1P(7,−2) noktasının x=3 doğrusuna göre yansıması P′ olduğuna göre P′ nedir?
2Bir öteleme A(2,−3) noktasını A′(−1,4) noktasına götürüyor. Aynı öteleme B(5,1) noktasını hangi noktaya götürür?
3P(6,−1) noktası, bir C noktası çevresinde saat yönünün tersine 90° döndürülünce P′(5,6) noktasına gidiyor. Dönme merkezi C nedir?
4Başlangıç noktası (4,2) önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra T(a,b) ötelemesiyle (−1,6) noktasına geliyor. Öteleme vektörü (a,b) nedir?
5A(7,1) noktası C(3,−2) merkezi çevresinde 180° döndürülüyor. Görüntü A′ nedir?
6Bir ABC üçgeninde D, köşe koordinatlarından hesaplanan işaretli iki kat alandır (köşe sırası saat yönünün tersiyse pozitif). Bu üçgen için D=−14’tür. Üçgene sırasıyla orijin çevresinde +90° dönme, y eksenine yansıma, T(−4,2) ötelemesi ve orijine göre nokta simetrisi uygulanıyor (köşe etiketleri korunuyor). Son görüntünün D′ değeri kaçtır?
7P(3,−1) noktasına sırasıyla şu dönüşümler uygulanıyor: orijin çevresinde +90° dönme, y eksenine göre yansıma, T(−2,1) ötelemesi. Son görüntü nedir?
8A(2,5) noktası önce x=5 doğrusuna göre yansıtılıp A′ elde ediliyor; sonra A′ orijine göre nokta simetrisiyle A″ noktasına taşınıyor. A″ nedir?
9C(2,−1) merkezli bir dönmede A(−2,2) noktası +90° döndürülerek A′, −90° döndürülerek A″ noktasına gidiyor. A′A″ uzunluğu kaçtır?
10P(1,1) noktası önce T(2,−5), sonra T(−7,1) ile öteleniyor. Bu iki ötelemenin bileşkesi hangi ötelemedir ve P′ nedir?
Aklında kaldı mı?
C(h,k) çevresinde dönmede neden önce merkez çıkarılır?
Orijin formülü konum vektörünü değil merkeze göre vektörü döndürmelidir. P−C döndürülür, sonra C eklenir; böylece merkez sabit ve merkezden uzaklık korunur.
Öteleme, dönme ve doğru yansımasında hangi yönelim ayrımı vardır?
Üçü de uzunluğu, açı büyüklüğünü ve geometrik alanı korur. Öteleme ve dönme yönelimi korur; tek doğru yansıması sıralı doğrusal olmayan köşelerin yönelimini ters çevirir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.