hepnotDoğruda açılar: ilişkiyi şekilden değil koşuldan kur
Konunun mantığı
Bir açının ölçüsünü hesaplamak için yalnız çizime bakmak yetmez; hangi ışınların hangi doğrular üzerinde olduğunu bilmek gerekir. Bu derste düzlemde, derece biriminde ve 0 ile 180 derece arasındaki sıradan açılarla çalışıyoruz. Çizim ölçekli olmak zorunda değildir. Diklik, eşitlik veya paralellik verilen bir koşul ya da gerekçelendirilmiş sonuç olmalıdır.
Komşu açılar ortak köşe ve ortak bir kenar taşır; iç bölgeleri üst üste gelmez. Yalnız komşu olmak 180 derece toplamı garanti etmez. Ortak olmayan iki kenar aynı doğru üzerinde zıt ışınlarsa komşu bütünler oluşur ve ölçüler toplamı 180 derecedir. Bu adımın dayanağı doğru açıdır, paralellik değildir.
Birbirini kesen iki farklı doğru dört açı oluşturur. Karşılıklı, komşu olmayan iki açı ters açılardır ve ölçüleri eşittir. Gerekçe olarak ortak komşu açıyla ikisinin de 180 dereceye tamamlandığını kullanabilirsin. Ters açı eşitliği için iki ayrı paralel doğru bulunması gerekmez; ilişki aynı kesişimdeki doğrulardan doğar.
İki paralel doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde yöndeş açılar ve iç ters açılar eşit, aynı taraftaki iç açılar bütünler olur. Burada hem açıların hangi konumda olduğu hem doğruların paralelliği önemlidir. Paralellik verilmemiş veya çıkarılmamışsa yalnız benzer konumdalar diye aynı ölçüyü atayamazsın.
Çözümde her eşitlik yanına gerekçeyi koy: doğru açı mı, ters açı mı, paralellikten yöndeşlik mi? Verilen cebirsel ölçüler için kurduğun denklemin sonucunu yerine yazıp açıların seçilen aralıkta olduğunu denetle. Bir öncül kaldırılırsa hangi adımın kaybolduğunu söyleyebilmek, sayıyı bulmak kadar önemlidir. Şema çizilmemiş sorularda belirtilen konum ilişkileri veri olarak okunur.
Komşuluk tek başına 180 derece değildir; dış kenarlar zıt ışınsa komşu bütünlerdir. Ters açılar aynı kesişimde eşittir. Paralel iki doğrunun keseninde yöndeş/iç ters eşit, aynı taraftaki iç açılar bütünlerdir. Görünüşü koşul yerine koyma.
Adım adım bir örnek
Paralel d₁ ve d₂ doğrularını t keseni kesiyor. α ve β, kesenin aynı tarafındaki iç açılardır. α=68° ise β kaç derecedir?
Aynı taraftaki iç açı kuralı
- d₁∥d₂ verildiği için aynı taraftaki iç açılar bütünlerdir: α+β=180°.
- β=180°−68°=112°.
Sınır: Bu 180 derece ilişkisini paralellik olmadan bu iki farklı kesişimdeki açıya atayamazsın.
Yöndeş ve komşu bütünler zinciri
- d₂ üzerindeki kesişimde β’ye komşu bütünler olan ve α ile yöndeş konumdaki γ açısını seç.
- Paralellikten γ=α=68°; aynı kesişimde doğru açıdan β+γ=180°.
- β=112°.
Sınır: İlk eşitlik paralelliğe; ikinci toplam zıt ışınların oluşturduğu doğru açıya dayanır. Gerekçeleri birbirinin yerine kullanma.
İkinci yöntemde paralellik hangi eşitlikte kullanıldı? Doğru açı adımı için iki doğrunun paralel olması gerekiyor mu?
Hatayı bul
“İki açı çizimde aynı yöne bakıyor; öyleyse yöndeş oldukları için eşittir.” yorumunda ilk eksik koşul nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Açıların bir kesenle oluşan doğru konumları ve ilgili doğruların paralelliği belirtilmeden yalnız görünüşten eşitlik çıkarmak.
Önce iki doğru ve ortak keseni tanımla; konumu denetle. Eşit yöndeş açı kuralını kullanmak için paralellik verilmiş veya ayrıca gerekçelendirilmiş olmalı.
Son soruda d₁∥d₂ koşulu kaldırılıp yalnız α=57°ve aynı taraftaki iç konumlar verilse β=123°sonucu zorunlu kalır mı?
Hayır. İki ayrı kesişimdeki açıları 180°ye bağlayan paralellik öncülü kaldırılmış olur. Aynı kesişimdeki ters ve komşu bütünler ilişkileri sürer, fakat bunlar tek başına β’yi belirlemez.
Dersin soruları
1A,O,C noktaları bu sırayla aynı doğru üzerinde; OB ışını bu doğrunun bir tarafında. m(AOB)=3 x+14 ve m(BOC)=2 x+26 derece. x kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2İki farklı doğru kesişiyor. Aynı kesişimde ters konumda bulunan α ve βaçılarının ölçüleri sırasıyla 4 x−3 ve 2 x+35 derece. α kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?3Paralel d₁ ve d₂ doğrularını bir t doğrusu kesiyor. α ve β, t’nin aynı tarafında ve iki paralelin arasında kalan iç açılardır. α=57°ise β kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1A, O, C noktaları bu sırayla bir doğru üzerindedir; B noktası bu doğrunun bir tarafındadır. m(AOB), m(BOC)’nin 36° fazlasıdır. m(BOC) kaç derecedir?
2AOB ve BOC açıları OB ortak kenarlı komşu açılardır ve OB ışını AOC açısının iç bölgesindedir. m(AOC)=120° ve m(AOB)=70° olduğuna göre m(BOC) kaç derecedir?
3AB ve CD doğruları E noktasında kesişiyor. m(AEC)=2x+10 ve komşusu olan m(AED)=3x+20 derecedir. BED açısı AEC açısının ters açısı olduğuna göre m(BED) kaç derecedir?
4Üç farklı doğru O noktasında kesişiyor. Doğrulardan birinin bir tarafında kalan ardışık üç açının ölçüleri 2x, 3x ve 4x derecedir. Ölçüsü en büyük olan açının ters açısı kaç derecedir?
5d₁ ∥ d₂ ve t doğrusu bu iki doğruyu kesiyor. d₁ ile t’nin kesişiminde t’nin sağında ve d₁’in üstünde kalan açı 3x+10, d₂ ile t’nin kesişiminde aynı konumdaki (sağ üst) açı 2x+35 derecedir. 3x+10 kaç derecedir?
6Paralel d₁ ve d₂ doğrularını bir t doğrusu kesiyor. Kesenin aynı tarafında ve iki paralelin arasında kalan iki açı 4x+5 ve 2x+25 derecedir. Bu iki açıdan küçük olanı kaç derecedir?
7d₁ ∥ d₂ ve t doğrusu d₁’i A’da, d₂’yi B’de kesiyor; A noktası B’nin üstündedir. d₁ üzerinde A’nın solunda P, d₂ üzerinde B’nin sağında S noktası (P ve S, t’nin farklı taraflarındadır); t üzerinde A’nın üstünde C noktası alınmıştır. Çizimde ABS açısı dik görünmektedir; ancak diklik verilmemiştir. m(PAC)=124° olduğuna göre m(ABS) kaç derecedir?
8d₁ ve d₂ doğrularını t doğrusu kesiyor. Kesenin aynı tarafında d₁ ve d₂ ile yöndeş konumda olan iki açıdan biri 70°dir. Öteki yöndeş açı için hangisi doğrudur?
9Bir t doğrusu, paralel olduğu bilinen d₁ ve d₂ doğrularını sırasıyla E ve F noktalarında kesiyor (d₁∥d₂). E’de t ile d₁’in oluşturduğu açılardan α ve β ters açılardır; β ve γ ise dış kenarları zıt ışın olan komşu açılardır. F’deki θ açısı, t’nin aynı tarafındaki γ ile yöndeş konumdadır. Çözüm adımları şöyledir: I. α=β. II. β+γ=180°. III. γ=θ. d₁∥d₂ bilgisi problemde olmasaydı hangi adımlar dayanaksız kalırdı?
10A, O, C noktaları bu sırayla bir doğru üzerindedir; OB ve OD ışınları bu doğrunun aynı tarafındadır ve A’dan C’ye doğru B, D sırasıyla dizilir. Çizimde BOD açısı dik görünmektedir ancak diklik verilmemiştir. m(AOB)=2x+10, m(BOD)=4x+12 ve m(DOC)=2x−2 derecedir. m(BOD) kaç derecedir?
Aklında kaldı mı?
Komşu iki açı ne zaman komşu bütünlerdir?
Ortak olmayan kenarları zıt ışın olduğunda; ölçüleri 180°toplanır. Yalnız ortak kenarlı olmak yeterli değildir.
Ters açı eşitliği için paralellik gerekir mi?
Hayır. Aynı noktada kesişen iki doğrunun karşılıklı açıları eşittir. İki ayrı kesişimde yöndeş açı eşitliği için ise paralellik koşulu aranır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.