YKS · GEOMETRİ

Dış açıortay: uzantı sırası, dıştan bölme ve eş kenar sınırı

Q: D dış açıortayın BC doğrusundaki dış kesişimiyse AB/AC hangi orana eşittir; taban nasıl bulunur?

BD/CDye eşittir; BC=|BD−CD| olur. Sıra B–C–D ise BD=BC+CD, D–B–C ise CD=DB+BC. İçteki parça toplamı kullanılmaz.

Q: AB=AC pozitif alanlı modelde A dış açıortayının BCyle sonlu kesişimi var mı?

Yoktur. Oran eş uzaklık ister, dışta fark ise BC>0dır; birlikte sağlanamaz. İkizkenarda dış açıortay tabana paraleldir; sonsuz bir gerçek uzunluk yazılmaz.

Bu derste Dış açıortay oranını aynı köşe sırasıyla kurar. Dış noktada parça farkını B–C–D veya D–B–C sırasıyla gerekçelendirir. Eş komşu kenarda sonlu dış kesişim bulunmamasını açıklar.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Dış açıortayda nokta sırası ve parça farkı. İlk iki panel AB>AC iken B–C–D, AB<AC iken D–B–C sırasını gösterir; parantezler uzaklıkların ortak parça içerdiğini ve tabanın fark olduğunu belirtir. Üçüncü panelde AB=AC iken dış açıortay BC’ye paraleldir; sonlu D yoktur. — **Dış açıortayda nokta sırası ve parça farkı.** İlk iki panel AB>AC iken B–C–D, AB<AC iken D–B–C sırasını gösterir; parantezler uzaklıkların ortak parça içerdiğini ve tabanın fark olduğunu belirtir. Üçüncü panelde AB=AC iken dış açıortay BC’ye paraleldir; sonlu D yoktur. Çizim ölçekli değildir; uzunluklar şekilden ölçülmez ve hiçbir panel bir sorunun sayısal verisini temsil etmez. Uzunluklar işaretsizdir, yönlü parça cebri gösterilmez. Dış açıortay uzunluğu, dış teğet merkezleri ve diğer özel doğrular bu şemanın kapsamı dışındadır.

Pozitif alanlı ABC Öklid üçgeninde A köşesinin dış açısı, bir kenar ışınıyla öteki kenarın ters uzantısı arasında kurulur. Bu dış açıyı iki eş açıya ayıran ışın dış açıortaydır. Bu derste onun üzerinde seçilen D’nin BC doğrusuyla sonlu kesişim olduğu ve BC parçasının dışında kaldığı durum incelenir; iki dış açıdan hangisi seçildiyse uygun ışın yönü de korunur. İç açıortayın karşı kenarı içeride kesmesiyle bu uzantı modeli aynı değildir. Uzunluklar işaretsiz pozitif sayılar olarak yazılacak; yönlü parça cebri sessizce kullanılmayacak.

Sonlu dış kesişimde oran AB/AC=BD/CD biçimindedir. A köşesine komşu AB kenarı B uzaklığıyla, AC kenarı C uzaklığıyla eşleşir. C tarafı uzunluğu CD, D’nin hangi tarafta olduğundan bağımsız olarak C ile D arasındaki uzaklıktır; çizimde küçük görünen parçayı otomatik paya koyma. Oranın görünüşü iç teoreme benzer olsa da D’nin yeri değişince toplam ilişkisi değişir. AB>AC ise BD>CD olduğundan sıra B–C–D; AB<AC ise BD<CD olduğundan sıra D–B–C olur.

Oran için özgün alan gerekçesi kurulabilir: D dış açıortayda olduğundan AB ve AC doğrularına dik uzaklıkları eşittir. Çünkü dış açının kollarına indirilen dikmelerde ortak AD hipotenüsü ve eş yarım açılar eş dik uzaklık verir; karşıt ışına uzatmak doğruya uzaklığı değiştirmez. Bu ortak uzaklık t>0 olsun. ABD ve ACD üçgenlerinin alanları AB·t/2 ve AC·t/2 oranındadır. Aynı iki alanı BD ve CD tabanlarıyla yazınca A’dan BC doğrusuna ortak dik yüksekliği kullanırız; oran BD/CD olur. Böylece AB/AC=BD/CD çıkar. Bu genel alan gerekçesi tek bir sayısal şeklin ölçümü değildir.

D dışta olduğu için iki uzaklığın farkı BC’dir: B–C–D sırasındaysa BD=BC+CD; D–B–C sırasındaysa CD=DB+BC. Örneğin BD:CD=p:q ise ortak pozitif k ile BD=pk, CD=qk yazılır ve |p−q|k=BC kullanılır. İç bölmedeki (p+q)k=BC burada kullanılamaz; BD ve CD aynı parçayı kısmen ortak içerir. Hem oran hem nokta sırası hem pozitif uzunluk denetlenmelidir. Kenar verileri de önce sıkı üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır; doğru üstündeki oran hesabı geçersiz üçgene gerçeklik kazandırmaz.

AB=AC olduğunda sonlu dış kesişim oranı BD=CD isterdi. Oysa BC>0 ve D dıştayken |BD−CD|=BC olduğundan bu mümkün değildir. İkizkenar modelde A iç açıortayı tabana diktir; aynı köşedeki iç ve dış açıortay doğruları birbirine dik olduğundan dış açıortay BC’ye paralel olur. Burada sonsuz uzunluklu bir doğru parçası sonuç yazmayız; sonlu kesişim yoktur. Dış açıortay uzunluğunun bütün formülleri, dış teğet merkezleri ve bütün özel doğrular bu dar girişte tamamlanmıyor.

KISACA

Sonlu dış kesişimde AB/AC=BD/CD ve |BD−CD|=BC. Büyük komşu kenar, aynı harf tarafındaki daha büyük uzaklıkla eşleşir; nokta sırasını denetle. AB=AC ise sonlu dış kesişim yok, dış açıortay BC’ye paraleldir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Özgün ABC üçgeninde AB=14, AC=10, BC=12 birimdir. AD, A dış açıortayı üzerinde ve D, BC doğrusunun dışındadır. D sonlu kesişim noktasıdır. BD ve CD’yi, doğru üzerindeki sıra ile birlikte bulunuz. Uzunluklar tam değer ve işaretsizdir.

Oran katsayısı ve parça farkı

Kenarlar üçgen kurabilir:10+12>14. BD/CD=14/10=7/5 olduğundan BD daha büyük, sıra B–C–D olur.
BD=7k, CD=5k; BD−CD=BC=12 →2k=12 →k=6.
BD=42, CD=30 birim;42−30=12 ve42/30=14/10 denetlenir.

Sınır: D içeride değildir; oranı kullanırken42+30u BCye eşitlemek yanlış olur. Bu örnek dış açıortayın uzunluğunu hesaplamaz.

Uzantıdaki kısa parçayla denklem kur

AB>AC olduğundan D,C’nin ötesindedir. CD=x>0 yaz; BD=x+12.
(x+12)/x=14/10 →10x+120=14x →x=30.
CD30, BD42 bulunur; çizimin ölçeğinden değil sıra ve oran öncüllerinden gelir.

Sınır: İki yaklaşım aynı dış açıortay oranının farklı cebir temsilleridir; iki bağımsız genel teorem ispatı olarak sayılmaz.

İç açıortayda parçaları toplayıp burada çıkarmamızı hangi doğru üzerindeki örtüşme açıklıyor?

HATA AVI

Hatayı bul

“AD dış açıortay ve BD:CD=5:2 ise BC=7k olur; D’nin uzantıda olması bu toplamı etkilemez.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: D dıştayken BD ve CD uzaklıklarını içte ayrık iki parça gibi toplamasıdır.

Dış kesişimde |BD−CD|=BCdir.5:2 için BD büyük olduğundan B–C–D sırası ve BC=3k gerekir. Pozitiflik, doğru sıra ve kenar oranı ayrıca denetlenir.

Çalışılmış örnekte yalnız AB ve AC yer değiştirip AB10,AC14,BC12 olsa dış kesişimin tarafı ve iki uzaklık ne olur?

Oran BD/CD=5/7<1 olduğundan D–B–C sırası gerekir. CD−BD=12 ile BD30,CD42 olur. Aynı12 tabanına rağmen hangi uzaklığın büyük olduğu ve kesişimin tarafı değişir. Bu yakın oran/sıra uygulamasıdır; gecikmeli başarı deneyi değildir.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

D dış açıortayın BC doğrusundaki dış kesişimiyse AB/AC hangi orana eşittir; taban nasıl bulunur?

BD/CDye eşittir; BC=|BD−CD| olur. Sıra B–C–D ise BD=BC+CD, D–B–C ise CD=DB+BC. İçteki parça toplamı kullanılmaz.

AB=AC pozitif alanlı modelde A dış açıortayının BCyle sonlu kesişimi var mı?

Yoktur. Oran eş uzaklık ister, dışta fark ise BC>0dır; birlikte sağlanamaz. İkizkenarda dış açıortay tabana paraleldir; sonsuz bir gerçek uzunluk yazılmaz.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.