YKS · GEOMETRİ

Dik üçgen: Pisagor, en uzun kenar ve ters yöndeki çıkarım

Bu derste Diklik verisinden hipotenüsü doğru belirleyip Pisagor bağıntısıyla pozitif uzunluğu bulur. Pozitif kenarlı üçgende kareler eşitliğinden diklik sonucunu Pisagor’un tersi olarak ayırır.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Kenar kareleri ve Pisagor’un iki yönü. Birinci panel dik üçgenin kenarları üzerine kurulan kareleri ve hipotenüsün dik açının karşısında olduğunu gösterir. İkinci panel diklikten kareler eşitliğine giden Pisagor yönünü, pozitif kenarlı üçgende kareler eşitliğinden dikliğe giden ters yönden ayırır. — **Kenar kareleri ve Pisagor’un iki yönü.** Birinci panel dik üçgenin kenarları üzerine kurulan kareleri ve hipotenüsün dik açının karşısında olduğunu gösterir. İkinci panel diklikten kareler eşitliğine giden Pisagor yönünü, pozitif kenarlı üçgende kareler eşitliğinden dikliğe giden ters yönden ayırır. Çizim ölçekli değildir; kenar uzunlukları ve kare alanları şekilden ölçülmez, hiçbir soru verisini temsil etmez. Dejenere olmayan Öklid üçgeni ve tam değerli veriler modelidir; yaklaşık ölçüm belirsizliği kapsam dışıdır.

Dik üçgen, bir iç açısı 90° olan dejenere olmayan Öklid üçgenidir. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, diğer ikisi dik kenarlardır. Hipotenüs en uzun kenardır; bu bilgi şeklin eğimli görünmesine değil 90° açının karşısında olmasına dayanır. Uzunlukları karşılaştırırken aynı birimi kullan.

Dik kenar uzunlukları a,b ve hipotenüs c ise a²+b²=c² olur. Buradaki kareler aynı birimdeki uzunlukların kareleridir. Önce hangi kenarın c olduğunu belirle; bilinmeyen her zaman hipotenüs değildir. Diklik verilmemiş bir üçgende sırf üç kenar olduğu için bu eşitliği kuramazsın.

Hipotenüs aranıyorsa kareler toplamının; bir dik kenar aranıyorsa hipotenüs karesi eksi bilinen dik kenar karesinin pozitif karekökü alınır. Uzunluk için negatif çözüm kullanılmaz. Örneğin hesap sonunda x²=45 çıkması x=45 demek değildir; pozitif uzunluk x=√45 olur. Verilen hipotenüs bilinen dik kenardan kısa veya ona eşitse model koşulları yeniden incelenmelidir.

Ters yöndeki sonuç ayrıca önemlidir: pozitif kenarlı bir üçgende en uzun kenar c için a²+b²=c² sağlanıyorsa c’nin karşı açısı 90°dir. Bu, Pisagor’un tersidir. Böylece önce diklik verilerek uzunluk bulma ile önce üç uzunluktan dikliği çıkarma farklı gerekçe sıralarıdır. Eşitlik sağlanmıyorsa bu üçgen dik değildir; görünüşten diklik eklenmez.

Sonucu üç kontrolden geçir: kenarların birimleri aynı mı, hipotenüs en uzun mu ve hesaplanan değer asıl kareler eşitliğini sağlıyor mu? Yaklaşık ölçümlerde tam eşitlik aramak ayrı bir belirsizlik problemidir; bu derste veriler tam değer kabul edilir. Bağıntıyı yalnız sayı üçlüsü ezberi olarak değil hangi açının 90° olduğunu belirten bir model olarak kullanacağız.

KISACA

Diklik varsa a²+b²=c²; c dik açının karşısındaki en uzun kenardır. Eksik dik kenar √(c²−a²), hipotenüs √(a²+b²) ile bulunur; uzunluk pozitiftir. Tersine, pozitif kenarlı üçgende en büyük kenarın karesi diğer ikisinin kare toplamına eşitse karşı açı 90°dir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Hipotenüsü 37 birim, bir dik kenarı 12 birim olan dik üçgenin diğer dik kenarı x kaç birimdir?

Kareleri hesaplayıp çıkar

x²+12²=37² →x²=1369−144=1225.
x>0 olduğu için x=√1225=35.

Sınır: 37 hipotenüs olduğu için karesi toplamın diğer tarafındadır; yanlışlıkla 37²+12²toplama.

Kare farkını çarpanla

x²=37²−12²=(37−12)(37+12)=25×49.
x=√25×√49=5×7=35.

Sınır: Karekök ayrıştırılırken çarpanlar negatif değildir; x’in pozitif uzunluk olduğu korunur.

İkinci yol büyük kareleri hesaplamadan hangi özdeşliği kullandı? Her iki yöntemde x=−35 neden sonuç olarak alınmıyor?

HATA AVI

Hatayı bul

Bir öğrenci diklik verilmeyen bir üçgende “İki kenar6ve8, o hâlde üçüncü kenar10’dur” diyor. İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Diklik koşulunu ve verilen kenarların hangi rolle kullanıldığını belirlemeden Pisagor eşitliği kurmak.

6 ve 8 uzunlukları tek başına üçüncü kenarı belirlemez. Ancak bu iki kenarın dik olduğu verilirse karşılarındaki hipotenüs 10 bulunur. Örneğin üçüncü kenar 9 da üçgen eşitsizliğini sağlar ve aynı dik model değildir.

Son sorudaki 41 birimlik kenar 42 birim yapılır,9 ve 40 korunursa diklik sonucu sürer mi?

Hayır.9+40>42 olduğundan üçgen oluşabilir; ancak 9²+40²=1681,42²=1764 ile eşit değildir. En büyük kenar 42 olduğu için bu üçgen dik değildir; önceki diklik çıkarımı korunmaz.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Bir kenarın hipotenüs olduğunu nasıl anlarsın?

Dik açının karşısındadır ve en uzun kenardır. Yalnız çizimde eğimli görünmesi hipotenüs olmak için veri değildir.

Pisagor ile tersinin gerekçe sırası nasıl ayrılır?

Pisagor: diklikten kareler eşitliğine gider. Tersi: pozitif kenarlı üçgende en büyük kenarın karesi diğer karelerin toplamına eşitse o kenarın karşı açısının dik olduğunu söyler.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.