hepnotDik doğrular, dik izdüşüm ayağı ve noktadan doğruya uzaklık
Konunun mantığı
Dik ve eş birimli eksenlerde, dikey olmayan iki doğrunun sonlu eğimleri m1 ve m2 ise diklik için m1 m2=−1 koşulu kullanılır. Yön vektörleri (1,m1) ve (1,m2)nin skaler çarpımı 1+m1 m2dir; diklikte bu sıfır olur. Dikey doğrunun gerçek sayı eğimi yoktur, bu yüzden onu bu çarpıma sokmayız. Yatay y=k ile dikey x=h doğruları diktir; sonsuz eğim diye gerçek sayı üzerinde işlem kurulmaz.
P noktasından d doğrusuna indirilen dikmenin ayağı H olsun. P doğru üzerinde değilken H, d üzerindeki en yakın noktadır. Çünkü d üzerindeki başka Q için PH dik HQdur; Pisagor PQ²=PH²+HQ² verir ve HQ²≥0dır. Q≠H olduğunda uzaklık daha büyüktür. P doğru üzerinde ise uzaklık sıfır ve H=Pdir. Bu ders doğru parçasına değil bütün doğruya uzaklık sorar; dik ayak parça dışında kalsa da doğruya uzaklık tanımı değişmez.
d:Ax+By+C=0 ve (A,B)≠(0,0) olsun. Doğru üzerindeki iki noktanın koordinat farkı için AΔx+BΔy=0 olduğundan n=(A,B) doğruya dik yöndür. P=(x0,y0), s=Ax0+By0+C ve D=A²+B²>0 yazılırsa H=P−(s/D)(A,B) hem doğruyu sağlar hem PHyi n yönünde verir. Nitekim AHx+BHy+C=s−(s/D)D=0. Bu genel cebirsel gerekçe dik ayak formülünü açıklar; tek bir sayısal denemeye dayanmaz.
PH uzunluğu |s|/√D, yani |Ax0+By0+C|/√(A²+B²)dir. Mutlak değer uzaklığı negatif olmaktan korur; paydadaki normal uzunluğu ise katsayıların seçilen ölçeğini giderir. Denklemin tamamı λ≠0 ile çarpılırsa pay |λ| ile, payda da |λ| ile çarpılır ve uzaklık değişmez. Sadece payı kullanmak veya paydada A²+B²yi kareköksüz bırakmak aynı doğru için tutarsız uzaklıklar üretir.
A=0 veya B=0 olabilir; fakat ikisi birden sıfırsa denklem doğru tanımlamaz. Örneğin 0x+0y+4=0 hiçbir nokta vermez; 0=0 ise bütün düzlemi verir, tek doğru değildir. Dikey x=a için H=(a,y0), uzaklık |x0−a|; yatay y=b için H=(x0,b), uzaklık |y0−b| olur. Bu özel durumlar genel bağıntıyla uyumludur. Bütün analitik geometriyi bu dersle bitmiş saymayız; sonlu hesaplar genel gerekçelerden ve öğrenci başarısından ayrı tutulur.
Sonlu eğimlerde diklik m1m2=−1; yatay-dikey ayrıca ele alınır. (A,B)≠(0,0) için uzaklık |Ax0+By0+C|/√(A²+B²); dik ayak doğru üzerindedir. Denklem sıfır olmayan katsayıyla ölçeklenince uzaklık değişmez.
Adım adım bir örnek
Özgün örnek: P=(4,5), d:3x+4y−7=0. Dik eş birimli koordinat düzleminde Pnin bütün d doğrusuna en kısa uzaklığı ve dik ayak H aranıyor.
Normalize uzaklık ve normal yönü
- s=3×4+4×5−7=25; D=3²+4²=25. Uzaklık |25|/5=5.
- H=P−(25/25)(3,4)=(1,1).
- H için 3+4−7=0; PH=(−3,−4) normal yönündedir ve uzunluğu 5tir.
Sınır: Hnin yalnız doğru üzerinde olması yeterli değildir; PHnin dikliği de birlikte denetlenir.
Dik doğruyu kesiştir
- d eğimi −3/4; Pden geçen dik doğrunun eğimi 4/3tür.
- y−5=(4/3)(x−4) denklemi d ile çözülür; H=(1,1).
- PH uzunluğu √[(4−1)²+(5−1)²]=5. En kısa oluşu PHQ Pisagor gerekçesine dayanır.
Sınır: Bu ikinci eğim yöntemi d dikey/yatay olursa özel biçime geçirilir; tanımsız eğimle çarpım yapılmaz.
d yerine −6x−8y+14=0 yazılırsa nokta kümesi, dik ayak ve uzaklık değişir mi?
Hatayı bul
“Doğru denklemine Pyi koyunca −12 çıktı, uzaklık −12dir. Denklemi 0la çarparsam aynı uzaklık formülünü 0/0 olarak kullanırım.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: İmzalı denklem değerini normal uzunluğuna bölüp mutlak değer almadan uzaklık saymasıdır.
(A,B)≠(0,0) için |Ax0+By0+C|/√(A²+B²) kullanılır. Sıfırla çarpma aynı doğruyu koruyan izinli ölçekleme değildir; 0=0 tek doğru tanımlamaz.
Çalışılmış d denklemi −2 ile çarpılıp −6x−8y+14=0 yazılırsa P=(4,5) için H ve uzaklık ne olur?
Aynı doğru kalır: yeni s=−50, yeni D=100; H=P−(−50/100)(−6,−8)=(1,1), uzaklık 50/10=5tir. Sıfır olmayan ölçek koşulu önemlidir; katsayıyı 0 almak bu sonucun başka örneği değildir.
Dersin soruları
1Q=(5,−1) noktasından geçen ve y=−2x+3 doğrusuna dik olan doğru aranıyor. Hangi denklem uygundur?
Bu soruda hata mı var?2P=(2,−1), d:4x+3y−10=0. Bütün d doğrusuna dik izdüşüm ayağı H ve uzaklık isteniyor. (H; uzaklık) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3P=(1,2) için d1:2x−y+4=0 ve d2:−6x+3y−12=0 denklemleri veriliyor. İkinci denklem birincinin −3 katıdır. Doğrulara uzaklıkların karşılaştırması hangi seçenekte doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1P=(10,6) noktasının 5x−12y−4=0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
2(k−1)x+(k+2)y+5=0 doğrusunun y=3 doğrusuna dik olması için k kaç olmalıdır?
3P=(−1,3) noktasından x−2y+2=0 doğrusuna indirilen dikmenin ayağı H hangisidir?
4P=(5,2) noktasının 2x+6=0 doğrusuna dik ayağı H ve uzaklığı hangisidir?
5P=(1,2) noktasının 3x+4y+c=0 doğrusuna uzaklığı 3 birim olduğuna göre c değerleri hangisidir?
6m gerçek sayı olmak üzere (m−2)x+(m²−4)y+(m+3)=0 denklemi hangi m değeri için bir doğru belirtmez?
7P=(1,−6) noktasından y=2x−3 doğrusuna indirilen dikmenin ayağı hangisidir?
8P=(2,1) noktasının y=−3x+4 doğrusuna uzaklığı hangisidir?
9(4,5) noktasından geçen ve x=−2 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi hangisidir?
10Q=(2,1) noktasının 3x+4y−5=0 doğrusuna uzaklığı 1 birimdir. −6x−8y+c=0 denklemi aynı doğruyu veriyorsa c kaçtır ve bu denklemle hesaplanan uzaklık nedir?
Aklında kaldı mı?
Neden doğru üzerindeki herhangi bir noktaya uzaklık değil dik ayağa uzaklık en kısadır?
Dik ayak H ve doğru üzerindeki Q için PQ²=PH²+HQ². HQ²≥0; Q≠H ise daha büyüktür. P zaten doğru üzerindeyse en kısa uzaklık sıfırdır.
Genel uzaklık formülü hangi koşulla ve katsayı ölçeğiyle kullanılır?
(A,B)≠(0,0), dik eş birimli eksenler. |Ax0+By0+C|/√(A²+B²). Bütün denklem λ≠0 ile çarpıldığında pay ve payda |λ| ile ölçeklenir; sonuç değişmez. Yatay/dikey doğrular da genel koşula uyar.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.