hepnotDeltoid: eş komşu kenarlar ve köşegenlerin farklı rolleri
Konunun mantığı
Bu derste ABCD köşeleri çevre boyunca sırayla verilmiş dışbükey, kendini kesmeyen, alanı pozitif deltoid modeli kullanılır. Koşullar AB=AD ve CB=CDdir: iki eşlik çifti komşu kenarlardır; AB=BC ve AD=CD gibi başka bir etiket sırası verilirse simetri köşegeni de yeniden belirlenir. Buradaki adlandırmada iki çiftin birbirinden farklı uzunlukta olması zorunlu değildir; dört kenarın da eşit olduğu eşkenar dörtgen özel durumunu dahil ediyoruz. İçbükey ok ucu veya çökmüş biçimler bu dersin modeli değildir.
AC ortak köşegenini çizdiğimizi düşünelim. ABC ve ADC üçgenlerinde AB=AD, BC=DC ve AC ortak olduğundan KKK eşliği vardır; A↔A, B↔D, C↔C eşlenir. Bu, B ve D açılarının eşitliğini, ACnin A ve C açılarında açıortay olmasını destekler. Ayrıca A ve Cnin her biri B ve Dye eş uzaklıktadır; bu yüzden ikisi de BDnin orta dikmesi üzerindedir. A≠C olduğundan AC doğrusu bu orta dikmedir. Böylece simetri ekseni AC ve BDyi dik ortalama özelliği genel koşullardan çıkar; sayısal tek örneğe veya çizimde görünüşe dayanmaz.
O=AC∩BD olsun. Dışbükey modelde O köşegenlerin içindedir; BO=DO ve AC⊥BDdir. Buna karşılık AO=OC genel olarak zorunlu değildir. Eş kenarların buluştuğu A ve C köşelerini birleştiren AC öteki köşegeni ortalar; aynı rolü BDye koşulsuz vermeyiz. A ve Cnin BDye uzaklıkları farklı olabilir; bu, AB=AD ve CB=CD eşliklerini bozmaz. Ortak simetri nedeniyle B↔D değişirken A ve C eksen üzerinde ayrı yerlerde kalabilir.
Dik köşegenlerin alan ilişkisi ABC ve ADC üçgenlerini ortak AC tabanıyla toplamakla görülür: alan AC·BO/2+AC·DO/2=AC·BD/2dir. Formülün dik uzaklık dayanağı vardır; herhangi bir dörtgende yalnız iki köşegen sayısı verildi diye koşulsuz uygulanmaz. Uzunluk hesabında AO=u,CO=v,BO=DO=t>0 yazarsak AB²=AD²=u²+t², CB²=CD²=v²+t²dir. u ve vnin eşit olması gerekmez. Bu farklı iki dik üçgen, önceki eşkenar dörtgenin bütün yarım köşegenleri çiftler hâlinde ortalama varsayımıyla karıştırılmamalıdır.
Ek olarak AO=OC olursa u=v ve iki yan kenar çiftinin uzunluğu da birbirine eşit olur: dört kenarlı eşkenar özel duruma geçilir. Bu koşul tek başına kare değildir; dik köşegenlerin uzunlukları hâlâ farklı olabilir. Kare için ayrıca uygun dik açı veya eş köşegen gibi ek veri gerekir. Aşağıdaki model ve sorularda hangi köşegenin kimi ortaladığı her kez etiketle izlenir. Koordinatla kurulan birkaç tanık genel geometrik gerekçenin yerine geçmez; fakat “ters yönde de mutlaka ortalar” gibi evrensel yanlış iddiayı tek uygun karşı örnek çürütebilir.
AB=AD ve CB=CD dışbükey deltoidinde AC simetri köşegenidir; BDyi dik ortalar. BO=DO fakat AO=OC zorunlu değildir. İkinci ortalama da eklenirse eşkenar özel durum çıkar; kare için yine ek koşul gerekir.
Adım adım bir örnek
Özgün dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD=15, CB=CD=13 birimdir. AC ve BD, Oda kesişir; BO=12 birimdir. AO, OC ve iki tam köşegen incelenecek. İki farklı eş kenar çifti verildiği için eşkenar dörtgen olduğu varsayılamaz.
İki farklı dik üçgeni ayrı çöz
- AC, BDyi dik ortalar; DO=12 ve BD=24. AOB dik üçgeninde AO²=15²−12²=81, AO=9.
- COB dik üçgeninde OC²=13²−12²=25, OC=5. O içte olduğundan AC=9+5=14.
- AO9 ile OC5 farklıdır; BD, ACyi ortalamaz. Alan gerekirse14×24/2=168 birimkaredir; ana bulgu köşegen rollerinin farkıdır.
Sınır: AOB ile COBnin hipotenüsleri15 ve13 farklıdır. Her iki dik üçgende aynı düşey yarım uzunluğu varsaymak yeni bir eşitlik ekler.
Simetri ekseninde doğrulanmış temsil
- O=(0,0),A=(0,9),C=(0,−5),B=(12,0),D=(−12,0) konumları dışbükey sıralı bir model kurar.
- AB²=AD²=81+144=225; CB²=CD²=25+144=169. BDnin iki yarısı12, ACnin iki parçası9 ve5tir.
- A–C eksenine göre B/D yansıması eş komşu kenarları korur; eksende A ile Cnin simetrik yerleşmesi gerekmez.
Sınır: Bu koordinat tanığı genel ters-ortalama iddiasını çürütür. ACnin orta dikme oluşunun genel gerekçesi önceki KKK/eş uzaklık açıklamasıdır.
A ve C eksen üzerinde farklı uzaklıklarda olsa da iki komşu eş kenar çifti neden korunuyor?
Hatayı bul
“AB=AD ve CB=CD olduğundan AC, BDyi dik ortalar. Öyleyse BD de ACyi ortalar; şekil zaten karedir.” İlk yanlış geçiş nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Bir köşegenin ötekini dik ortalamasını, ters köşegenin de aynı orta nokta görevini taşımasına gerekçesiz çevirmesidir.
BO=DO zorunlu, AO=OC genel olarak değildir. İkinci eşitlik ayrıca verilse eşkenar özel durum elde edilir; yine bütün dik köşegenli eşkenar dörtgenler kare değildir. Doğru genel sonuçları sonlu tanıklardan ayrı tut.
Çalışılmış örnekte BO12 ve AB15 kalıp CB de15 yapılsaydı hangi ortalama ilişkisi eklenirdi?
OC=√(225−144)=9, AO da9 olurdu; BD artık ACyi de ortalardı. Dört kenar15 ile eşkenar özel durum olur; köşegenler18 ve24 eşit olmadığı için kare olmaz. Bu yakın koşul karşılaştırması öğrenciyle ölçülmüş aktarım veya pilot değildir.
Dersin soruları
1Özgün dışbükey pozitif alanlı ABCDde AB=AD ve CB=CD; O=AC∩BDdir. Soruda dört kenarın birbirine eşit olduğu veya AO=OC bilgisi verilmemiştir. Hangi özellik verilen koşullardan zorunlu çıkar?
Bu soruda hata mı var?2Özgün dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD=10, CB=CD=√61 birim. O=AC∩BD ve BO=6 birimdir. Bütün uzunluklar pozitiftir. (DO,AO,OC) sırası hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Bu dersin dışbükey deltoid modelinde AB=AD, CB=CD ve O=AC∩BDdir. Ek olarak AO=OC veriliyor; köşegenlerin uzunluklarının birbirine eşit olduğu verilmemiştir. Hangi sınıflama zorunludur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Dışbükey ABCD dörtgeninde AB=BC ve CD=DA olduğu, köşegenlerin O noktasında kesiştiği biliniyor. Verilenlerden hangisi zorunlu olarak çıkar?
2Dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD ve CB=CD’dir. ∠A=60° ve ∠B=110° olduğuna göre ∠C kaç derecedir?
3Dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD ve CB=CD’dir. Köşegenler O’da kesişiyor ve AO=12, OC=3, BO=9 birimdir. Dörtgenin çevresi kaç birimdir?
4Dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD, CB=CD ve köşegenler O’da kesişiyor. BD=16 birim, AO=6 birim ve deltoidin alanı 168 birimkaredir. OC kaç birimdir?
5Dışbükey ABCD dörtgeninde AB=AD, CB=CD ve köşegenlerin kesim noktası O için AO=OC olduğu biliniyor. Dörtgenin kare olduğunu kesinleştirmek için aşağıdakilerden hangisi tek başına yeterlidir?
6Koordinat düzleminde köşeleri sırayla A, B, C, D olan dörtgenin dışbükey bir deltoid olması ve AB=AD, CB=CD koşullarını sağlaması isteniyor. Hangi koordinat dörtlüsü bu koşulları sağlar?
7Dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD, CB=CD ve köşegenler O’da kesişiyor. Çevre 56 birim, BD=24 birim ve AO=5 birim olduğuna göre AC kaç birimdir?
8Çevresi 52 birim olan dışbükey ABCD dörtgeninde AB=AD, CB=CD ve AO=OC’dir (O=AC∩BD). BD=24 birim olduğuna göre AC kaç birimdir?
9Dışbükey ABCD dörtgeninde AB=AD, CB=CD ve AO=OC’dir (O=AC∩BD). AC=30 ve BD=16 birim olduğuna göre dörtgenin alanı hangisidir?
10Dışbükey ABCD deltoidinde AB=AD ve CB=CD’dir. ∠BAD=70° ve ∠BCD=110° olduğuna göre ∠ABC kaç derecedir?
Aklında kaldı mı?
AB=AD ve CB=CD sıralamasında simetri köşegeni hangisi; kimi ortalar?
Eş kenarların buluştuğu A ve Cyi birleştiren AC, BDyi dik ortalar: BO=DO. AO=OC ek koşul olmadan zorunlu değildir; farklı etiketli çiftlerde eksen yeniden belirlenir.
Deltoidde AO=OC ayrıca verilirse kare otomatik çıkar mı?
Hayır. Bu modelde dört kenar eşitlenir ve eşkenar dörtgen olur; kare için örneğin iki tam köşegenin de eşitliği gibi ek koşul gerekir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.