hepnotÇokgen açıları: toplam, tek açı ve düzgünlük koşulu
Konunun mantığı
Bu derste düzlemde kendini kesmeyen kapalı çokgenlerle çalışıyoruz; buna basit çokgen diyeceğiz. Kenar sayısı n tam sayı ve n≥3. Ardışık kenarlar aynı doğru boyunca birleşip sıfır dönüş oluşturmuyor. Özellikle bütün iç açıları 180°den küçük olan dışbükey duruma odaklanıyoruz; yıldız gibi kendini kesen çizimleri aynı modelin içine sessizce almıyoruz.
Dışbükey n kenarlı çokgende bir köşeden uygun köşegenler çizilerek iç bölge n−2 üçgene ayrılır. İç açı toplamı bu yüzden(n−2)×180°dir. Sonuç toplamı verir, tek bir açıyı değil. Basit içbükey çokgenlerde de doğru bir üçgenleme aynı toplamı verir; ancak herhangi bir köşeden çizilen bütün köşegenlerin içeride kalacağı fan çizimi artık koşulsuz kullanılamaz.
Dışbükey çokgenin her köşesinde, sınır boyunca aynı yönde yürürken yapılan dış dönüş açısını bir kez seçersek pozitif açı ölçülerinin toplamı 360°olur. Bir köşenin bu dış açısı ile iç açısı komşu bütünlerdir; toplamları 180°dir. İki farklı dış açı seçimini aynı köşede birlikte saymak veya yönleri karıştırmak 360°sayımının anlamını değiştirir.
Düzgün çokgende bütün kenarlar ve bütün iç açılar eşittir. Bu durumda bir iç açı(n−2)180°/n, bir dış açı 360°/n olur. Tüm açıların eşit olması tek başına düzgünlük demek değildir; kenarlar da eşit olmalıdır. Örneğin kenarları farklı bir dikdörtgenin dört açısı eşittir ama düzgün dörtgen değildir. Eş açılı olma verisi açı toplamını bölmeye yeter; kenar eşitliğini kanıtlamaz.
Bir tek iç açı verildiğinde genel bir çokgenin kenar sayısını, bütün açılar eşitmiş gibi bulamazsın. Düzgünlük veya eş açılılık eklenirse aynı hesabın dayanağı oluşur. Sonuçta n’nin en az 3 olan tam sayı olduğunu denetle. Çizimin simetrik görünmesi, kenar veya açı eşitliği için veri değildir; kullanılan her formülün toplam mı tek açı mı verdiğini belirt.
Basit dışbükey n kenarlı çokgende iç açı toplamı(n−2)180°; her köşeden aynı yönde bir dış dönüşün toplamı 360°. Tek iç ve dış açı komşu bütünlerdir. Düzgünlük hem kenar hem açı eşitliği ister; toplamı n’ye bölmek için açıların eşitliği gerekir.
Adım adım bir örnek
Basit dışbükey 11 kenarlı bir çokgenin iç açı toplamını iki yolla bulunuz. Çokgenin düzgün olduğu verilmiyor.
Üçgenlere ayır
- Bir köşeden fan çizimiyle 11−2=9 üçgen elde edilir.
- İç açı toplamı 9×180°=1620°.
Sınır: Bu fan çizimi dışbükeylik sayesinde içeride kalır. Düzgünlük toplam için gerekli değildir.
Dış dönüşlerden çıkar
- Her köşede iç açı+dış dönüş=180°;11 köşede toplam 1980°.
- Dış dönüşlerin toplamı 360°olduğundan iç toplam 1980°−360°=1620°.
Sınır: Her köşeden aynı yönde tek bir dış dönüş seçilir; iki dış açıyı birden sayma.
İkinci yöntem neden 11 farklı iç açıyı ayrı ayrı bilmiyor? Düzgünlük verilmediği için 1620/11 sayısını her iç açıya atayabilir miyiz?
Hatayı bul
“Bir altıgenin iç açı toplamı720°; o hâlde her iç açısı120°dir.” yorumunun ilk hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Açıların eşit olduğu verilmeden toplamı eş paylaştırmayı her açının ölçüsü saymak.
720/6=120 ortalama iç açıdır. Her açının 120°olması için eş açılılık gerekir; düzgünlük bunu sağlar ama yalnız altıgen olmak sağlamaz.
Son soruda tek bir açı yerine bütün iç açıların 120°olduğu verilse kenar sayısı ve düzgünlük için ne söylenebilir?
Her dış dönüş 60°olur;360/60=6 kenar bulunur. Fakat kenarların eşitliği verilmediğinden yalnız eş açılı altıgen olduğu söylenir; düzgünlük ayrıca gerekçelendirilmelidir.
Dersin soruları
1Basit dışbükey bir sekizgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? Düzgünlük verilmiyor.
Bu soruda hata mı var?2Düzgün bir onikigenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?3Basit dışbükey bir çokgenin yalnız bir iç açısının 120°olduğu biliniyor. Düzgünlük ve diğer açıların eşitliği verilmiyor. Hangi sonuç kesin doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 2340°dir. Bu çokgenin kaç kenarı vardır?
2Bir dışbükey beşgenin iç açıları küçükten büyüğe doğru ardışık olarak 10° artmaktadır: x, x+10, x+20, x+30, x+40 derece. En büyük iç açı kaç derecedir?
3Bir dışbükey çokgenin bir köşesindeki iç açı 140°dir. Aynı köşedeki dış açı kaç derecedir?
4Düzgün bir çokgenin bir dış açısı 24°dir. Bu çokgenin bir iç açısı kaç derecedir?
5Düzgün bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1440°dir. Bu çokgenin bir dış açısı kaç derecedir?
6Bir dışbükey çokgenin bir köşesi dışındaki bütün köşelerde alınan dış açıların toplamı 330°dir. Bu özel köşedeki iç açı kaç derecedir?
7Bütün iç açılarının ölçüsü 135° olan bir dışbükey çokgen için, başka bilgi verilmemiştir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
8Bir dışbükey dörtgenin bütün iç açıları birbirine eşittir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
9Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, dış açılarının ölçüleri toplamının 5 katıdır. Bu çokgenin kaç kenarı vardır?
10Düzgün bir çokgenin bir iç açısı 150°dir. Bu çokgenin bütün iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Aklında kaldı mı?
Düzgün çokgen olmak için eş kenar mı, eş açı mı gerekir?
İkisi birlikte gerekir. Yalnız eş açılı bir dikdörtgenin kenarları farklı olabilir; bu durumda düzgün değildir.
Dış açı toplamını 360°kullanırken nasıl seçim yapıyoruz?
Basit dışbükey çokgende sınırı aynı yönde izleyip her köşeden bir dış dönüşü bir kez seçiyoruz. İç açıyla bu dönüşün toplamı 180°dir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.