hepnotÇember uzunluğu ve daire alanı: payı ve birimi ayır
Konunun mantığı
Yarıçap r>0 olsun. Çember sınır eğrisini, daire bu sınırla birlikte iç bölgeyi anlatır. Çemberin uzunluğu C=2πr, dairenin alanı A=πr²dir. Çap d verilirse r=d/2 kullanılır. π sayısı birimsiz bir sabittir; soruda yaklaşık değer istenmedikçe sonucu π ile bırakabiliriz. Santimetreyle verilen r için C santimetre, A santimetrekare çıkar; bu iki nicelik aynı birimle toplanmaz.
Bir merkez açıya karşılık gelen yay, tam çemberin aynı açısal payını kaplar. Bu derste α derece cinsindendir ve bir tur içindeki yay için 0<α≤360° alınır. Yay uzunluğu ℓ=(α/360°)·2πr olur. Derece işareti olmayan bir sayı için hangi açı biriminin kullanıldığı açıklanmalıdır. Radyan ölçüsüyle kullanılan ℓ=rθ bağıntısında θ radyan olmalıdır; derece sayısını doğrudan o yere yazmak farklı bir sonuç üretir.
İki yarıçap ve aralarındaki seçilmiş yayın sınırladığı bölge daire dilimidir. Alanı S=(α/360°)·πr² olur. α büyük merkez açısı seçilmişse büyük dilim, küçük açı seçilmişse küçük dilim hesaplanır; A ve B uçları tek başına hangisinin istendiğini söylemeyebilir. Yayın ölçüsüyle alanın tam şekle oranı aynıdır; ancak biri uzunluk, öteki alan olduğundan sayısal değerleri genel olarak eşit değildir.
Dilim alanı ile onun yay uzunluğunu birlikte yazarsak S=rℓ/2 elde edilir; bu, aynı iki oran bağıntısının yeniden düzenlenmesidir. ℓ burada yalnız eğri yaydır. 0<α<360° olan olağan bir dilimin sınır uzunluğu ise ℓ+2r olur; iki düz yarıçap kenarı da çevreye dahildir. Tam dairede α=360° iken bu iki yarıçap dış sınır oluşturmaz, çevre 2πr kalır. Daire parçası gibi kirişi sınır yapan başka bir bölgeyi dilimle karıştırma.
Ölçek değişiminde yarıçap k>0 katsayısıyla çarpılır, merkez açı sabit kalırsa çevre ve yay k, alan ve dilim alanı k² katına çıkar. Açı da değişiyorsa her büyüklükte onun payını ayrıca hesaba katmak gerekir. Örneğin yarıçap büyütülüp açı küçültülünce aynı yay uzunluğunu korumak mümkünken dilim alanı farklı olabilir. Önce “tamamın kaçta kaçı?” sorusunu yanıtla, sonra uzunluk mu alan mı istendiğini denetle.
r>0; C=2πr, A=πr². Dereceyle α için ℓ=(α/360°)2πr ve S=(α/360°)πr²; ayrıca S=rℓ/2. Dilim çevresi, 0<α<360° iken ℓ+2r; tam dairede 2πr. Radyan formülüne derece sayısını doğrudan koyma.
Adım adım bir örnek
Yarıçapı 10 cm, merkez açısı 72° olan daire diliminin yay uzunluğunu ve alanını iki temsille bulunuz.
Tam şeklin payını al
- 72°/360°=1/5. Tam çevre 20π cm, tam alan 100π cm².
- Yay=20π/5=4π cm; dilim alanı=100π/5=20π cm².
Sınır: 72° merkez açıdır ve istenen bu açıya ait dilimdir; karşıdaki 288°lik büyük dilim seçilmez.
Yaydan alan bağıntısına geç
- Yay, çevrenin beşte biri olduğundan ℓ=4π cm.
- S=rℓ/2=10·4π/2=20π cm².
Sınır: S=rℓ/2 aynı oran formüllerinin sonucudur, bağımsız bir kanıt değildir. ℓ yerine dilimin toplam çevresi yazılamaz.
Dilim çevresi sorulsaydı 4π yeterli olur muydu? Alanı 20π bulurken uzunluk birimi neden cm²ye dönüşüyor?
Hatayı bul
“Yarıçapı 7 cm ve merkez açısı 90° olan dilimin çevresi, yay uzunluğu 7π/2 cm olduğu için 7π/2 cmdir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Daire diliminin düz iki yarıçap sınırını çevre hesabına katmamak.
Yay uzunluğu doğrudur; 90°lik dilimin çevresi 7π/2+7+7=7π/2+14 cm olur. Yay uzunluğu ile bütün dilimin sınır uzunluğu farklıdır.
Yarıçapı 10 cm olan 72°lik dilim tam daireye genişletilirse yay uzunluğu, alan ve sınır uzunluğu nasıl değişir?
Yay 4π cmden 20π cmye, alan 20π cm²den 100π cm²ye çıkar; ikisi de beş kat. Eski dilimin çevresi 4π+20 cm, tam dairenin çevresi 20π cmdir; tam dairede iki yarıçap dış sınır olmadığından çevreler arasında aynı beş kat ilişkisi yoktur.
Dersin soruları
1Bir dairenin çevre uzunluğu 22π cm. Dairenin alanı kaç cm²dir?
Bu soruda hata mı var?2Yarıçapı 9 cm, merkez açısı 80° olan daire diliminin yay uzunluğu ile dilim alanı sırasıyla hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Bir daire diliminin yarıçapı 6 cm ve merkez açısı 100°. Yeni dilimde yarıçap 12 cm, merkez açısı 50° oluyor. Yeni yay uzunluğunun eskiye oranı ve yeni dilim alanının eskiye oranı sırasıyla hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Çapı 12 cm olan bir dairenin çevre uzunluğu ve alanı sırasıyla hangisidir?
2Yarıçapı 12 cm olan bir daire diliminin yay uzunluğu 5π cm’dir. Dilimin merkez açısı kaç derecedir?
3Yarıçapı 8 cm, yay uzunluğu 6π cm olan bir daire diliminin alanı hangisidir?
4Yarıçapı 6 cm olan bir daire diliminin çevresi (yay ile iki yarıçap kenarının toplamı) 4π+12 cm’dir. Dilimin alanı kaç cm²’dir?
5Bir daire diliminde yarıçap değiştirilirken merkez açı yarıya indiriliyor. Dilimin alanı 8 katına çıktığına göre yay uzunluğu kaç katına çıkmıştır?
6Uzunluğu 12 cm olan bir yelkovan, tam turu 60 dakika olan saatte 25 dakika süresince dönmektedir. Yelkovanın bu sürede taradığı bölgenin alanı kaç cm²’dir?
7Alanı 40π cm², yay uzunluğu 8π cm olan bir daire diliminin yarıçapı kaç cm’dir?
8Yarıçapı 10 cm olan bir çemberde A ve B noktalarını ayıran küçük yayın uzunluğu 5π cm’dir. Büyük yayı sınır alan dilimin alanı kaç cm²’dir?
9Yarıçapı r olan bir daire diliminin çevresi (yay ile iki yarıçap kenarının toplamı), aynı yarıçaplı tam çemberin uzunluğuna eşittir. Bu dilimin merkez açısı kaç derecedir?
10Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° olan yayın uzunluğu ℓ=rθ bağıntısıyla bulunacaktır. Bu hesapta π radyan=180° alınacaktır. Doğru θ ve ℓ hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Yarıçap iki katına, merkez açı sabitken yay ve dilim alanı ne olur?
Yay iki katına, dilim alanı dört katına çıkar. Uzunluk r, alan r² ile ölçeklenir.
ℓ=rθ formülündeki θ yerine 60 yazmak her zaman doğru mu?
Hayır; bu formülde θ radyandır. Açı 60° verilmişse derece formülüyle ℓ=(60/360)2πr hesaplanır; önce radyana çevirme yapılmadan 60 doğrudan kullanılmaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.