hepnotÇember analitiği: standart denklem, tam kare ve nokta konumu
Konunun mantığı
Eş birimli dik koordinat düzleminde merkez M=(a,b), yarıçap r>0 ise çemberin noktaları merkeze tam r uzaklıktadır. Uzaklık formülünden (x−a)²+(y−b)²=r² elde edilir. Bu eşitlik çevredeki noktaları belirtir; ≤ kullanmak kapalı daireyi, < kullanmak onun iç bölgesini verir. Çemberin içindeki nokta çember üzerinde değildir. Burada pozitif yarıçaplı gerçek çemberle çalışıyoruz; sıfır yarıçap durumunu ayrıca tek nokta diye adlandıracağız.
Standart denklemde merkezi okurken parantezdeki işaretler dikkatle çözülür. (x−a) ve (y−b) sıfır olduğunda merkezin koordinatları çıkar; parantezde görülen sabitleri doğrudan merkez diye almak işareti ters çevirebilir. Sağdaki sayı r değil r²dir; r pozitif kareköktür. Yarıçap için hem pozitif hem negatif kök yazılmaz, çünkü uzunluk pozitif seçilir. Denklemden bulunan nokta koordinatları ise negatif olabilir; uzunluğun işaretiyle karıştırılmaz.
x²+y²+Dx+Ey+F=0 biçiminde, ikinci derece katsayıları eşit ve xy terimi yokken tam kareyle (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²)/4−F yazılır. Sağ taraf R olsun: R>0 gerçek bir çember, R=0 yalnız (−D/2,−E/2) noktası, R<0 gerçek düzlemde boş küme verir. Her iki karenin negatif olmaması bu ayrımı sağlar. Her x² veya y² içeren denklem çember değildir; katsayılar ve çapraz terim koşulları denetlenmeden bu formül kullanılmaz.
Bir P noktasının konumunu bulmak için merkeze uzaklığın karesini r² ile karşılaştırabiliriz; iki sayı negatif olmayan olduğundan karekök almadan karşılaştırma geçerlidir. Küçükse iç bölgede, eşitse çember üzerinde, büyükse dış bölgededir. İşlemde noktanın x ve y koordinatları denklemde yerine yazılır, fakat yalnız sol tarafın işaretiyle rastgele karar verilmez; denklemin hangi standart veya normalize biçimde olduğu bilinmelidir. Sabit çarpanla çarpılmış denklemde işaret yönü değişebilirken nokta kümesi değişmeyebilir.
Denklemde parametre varsa çember olma koşulu ile verilen noktadan geçme koşulu ayrı aşamalardır. Önce tam kare ve r²>0 kontrol edilir; sonra nokta koşulu cebirsel bir denklem verir. Kare eşitliğinde iki parametre dalı çıkarsa sorudaki ek sınır ikisini de değerlendirmeyi gerektirir. Parametre için bulduğumuz her aday özgün denklem ve ek koşullarda doğrulanır. Birkaç çevre noktası deneyerek iki denklemin bütün nokta kümelerinin aynı olduğunu kanıtlamayız; cebirsel tam kare dönüşümü eşdeğerliği kurar.
(x−a)²+(y−b)²=r², r>0: merkez (a,b), sağ taraf yarıçapın karesi. Tam kare sonrası R=0 tek nokta, R<0 boş kümedir. Noktanın konumu merkeze uzaklık² ile r² karşılaştırılarak bulunur; parametrede tüm dallar ve ek koşullar kontrol edilir.
Adım adım bir örnek
Eş birimli dik koordinat düzleminde x²+y²−10x+6y+18=0 denkleminin belirttiği şekli, merkez ve yarıçapını iki temsille açıklayınız.
Tam kareye tamamlama
- x²−10x=(x−5)²−25 ve y²+6y=(y+3)²−9.
- Denklem (x−5)²+(y+3)²=25+9−18=16 olur. Merkez (5,−3), yarıçap 4tür.
Sınır: Sağ taraf pozitif olduğundan gerçek çemberdir; 16 yarıçap değil yarıçapın karesidir.
Ötelenmiş uzaklık değişkenleri
- u=x−5, v=y+3 seçilirse denklem u²+v²=16 olur; bu, u/v düzleminde orijine 4 uzaklık koşuludur.
- Eski koordinatlara dönünce merkez (5,−3) olur. Açılım yeniden x²+y²−10x+6y+18=0ı verir.
Sınır: Aynı tam kare gerekçesinin koordinat temsilidir; birkaç sayısal tanıktan bütün noktalar için eşdeğerlik çıkarılmaz.
Sağ taraf 16 yerine 0 veya −1 olsaydı karelerin işareti hangi iki farklı nokta kümesini gerektirirdi?
Hatayı bul
“(x−2)²+(y+4)²=0 denklemi yarıçapı 0 olan, bu dersteki pozitif yarıçaplı çemberdir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Sıfır sağ tarafın verdiği tek noktayı r>0 koşullu gerçek çemberle aynı saymak.
İki kare ancak ikisi de sıfırken toplanıp 0 olur; tek nokta (2,−4)tür. Bu derste çember r>0 gerektirir; negatif sağ taraf ise tek nokta değil boş küme verir.
İkinci soruda k=40 seçilip sonra k=41e çıkarılırsa nokta kümesi nasıl değişir?
k=40 için (x+2)²+(y−6)²=0: yalnız (−2,6). k=41 için sağ taraf −1: gerçek koordinatlarda çözüm yoktur. İkisi de pozitif yarıçaplı çember değildir; tek nokta ile boş küme ayrılır.
Dersin soruları
1Eş birimli dik koordinat düzleminde (x+1)²+(y−2)²=25 çemberi ve P=(2,6), Q=(4,3), R=(0,1) veriliyor. P–Q–R konumlarının sırası hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Dik koordinat düzleminde x²+y²+4x−12y+k=0 denkleminin pozitif yarıçaplı gerçek bir çember belirtmesi için gerçek k hangi koşulu sağlamalıdır?
Bu soruda hata mı var?3Eş birimli dik koordinat düzleminde (x−a)²+(y+1)²=20 çemberi P=(1,1) noktasından geçiyor ve a>1 veriliyor. a kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Merkezi (−2,4) ve yarıçapı 3 birim olan çemberin standart denklemi hangisidir?
2Bir çemberin bir çapının uç noktaları A=(−1,2) ve B=(5,10) olduğuna göre çemberin standart denklemi hangisidir?
3x²+y²−8x+2y+8=0 denkleminin belirttiği çemberin merkezi ve yarıçapı hangisidir?
4Merkezi (2,−3), yarıçapı 4 birim olan çemberin x²+y²+Dx+Ey+F=0 biçimindeki denkleminde (D, E, F) üçlüsü hangisidir?
5x²+y²−2x−4y−20=0 çemberine göre aşağıdaki noktalardan hangisi dış bölgededir?
6−x²−y²+4x+6y−4=0 denklemiyle verilen çember için P=(1,2) noktası denklemin sol tarafında yerine yazılınca +7 çıkıyor. P’nin konumu hakkında hangisi doğrudur?
7x²+y²−2kx+6y+10=0 denkleminin yarıçapı 2√2 birim olan bir çember belirtmesi için k’nın alabileceği değerler hangisidir?
8Aşağıdaki denklemlerden hangisi gerçek düzlemde pozitif yarıçaplı bir çember belirtir?
9m gerçek sayı olmak üzere x²+y²+mx−2y−m=0 denklemi A=(1,1) noktasını her m için sağlamaktadır. Bu denklemin pozitif yarıçaplı çember belirtmediği m değeri hangisidir?
10m ve n gerçek sayı olmak üzere (m−1)x²+y²+(n−2)xy−4x+2y+3=0 denklemi pozitif yarıçaplı bir çember belirtiyorsa (m, n) ikilisi hangisidir?
Aklında kaldı mı?
x²+y²+Dx+Ey+F=0da merkez ve r² hangi koşullu dönüşümle okunur?
Katsayılar eşit/normalize ve xy terimi yokken tam kare: merkez (−D/2,−E/2), R=(D²+E²)/4−F. R>0 çember, R=0 tek nokta, R<0 gerçek düzlemde boş küme.
Bir noktanın çember üzerindeki durumu ile iç bölgede olması nasıl ayrılır?
Merkeze uzaklığın karesi r²ye eşitse çevre üzerinde, küçükse iç bölgededir. Çember eşitliktir; kapalı daire ≤ ile ayrıca tanımlanır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.