hepnotÇemberde açı: köşeyi ve görülen yayı seç
Konunun mantığı
Çevre açı, köşesinin bulunduğu yayı değil, karşısında kalan yayı “görür”; ölçüsü o yayın yarısıdır.
İki açı, iki köşe
Merkez açının köşesi çemberin merkezi O’dur. Çevre açının köşesi ise çemberin üzerindeki bir P noktasıdır. İkisi de aynı A ve B uçlarına bakar ama farklı davranır; bu yüzden önce köşenin nerede olduğuna bakılır.
Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. İki AB yayının toplamı 360°’dir.
Çevre açı, köşesi P’yi içermeyen yayın yarısıdır. P büyük yayda ise küçük yayı, küçük yayda ise büyük yayı görür.
Her çevre açı sorusunda
- Köşe P’nin hangi yayda olduğunu belirle.
- Açının gördüğü yay, P’yi içermeyen yaydır; onu işaretle.
- O yayın ölçüsünü bul. Küçük yay + büyük yay = 360°.
- Çevre açı için bu ölçüyü ikiye böl.
Sık yapılan hata
Aynı A ve B uçlarına bakan iki açı her zaman eşit değildir. Köşeler zıt yaylardaysa iki açı farklı yayları görür ve toplamları 180° olur. Eşitlik için köşelerin aynı yayda olması gerekir.
Çapın gördüğü yay 180°’dir; yarısı 90°. Yalnız AB gerçekten çap olduğu verilmişse geçerlidir; uzun görünen kiriş çap sayılmaz.
Düşün
Küçük AOB merkez açısı 120° olsun. P büyük yayda ise APB kaç derecedir? P küçük yayda olsaydı ne olurdu?
Cevabı göster
P büyük yaydaysa küçük yayı (120°) görür: APB = 60°. P küçük yaydaysa büyük yayı (360° − 120° = 240°) görür: APB = 120°. Köşenin yeri sonucu değiştirir.
Adım adım bir örnek
O merkezli çemberde küçük AOB merkez açısı 132°. P, büyük AB yayı üzerinde ve A,B noktalarından farklı. APB kaç derecedir? İki temsille bulunuz.
Görülen yay
- P büyük yayda olduğundan APB, P içermeyen küçük AB yayını görür; bu yay 132°.
- Çevre açı=132°/2=66°.
Sınır: P küçük yayda olsaydı gördüğü yay 228° ve çevre açı 114° olurdu. Konum koşulu gereklidir.
Yarıçaplarla iki ikizkenar üçgen
- Bu özel çizim için P noktasını büyük AB yayının orta noktası seçebiliriz; aynı yayı gören çevre açı ölçüsü konum boyunca değişmez. Böylece büyük merkez açı iki eş 114° parçaya ayrılır.
- OAP ve OBP ikizkenar üçgenlerinde P köşesindeki açılar (180°−114°)/2=33° olur; APB=33°+33°=66°.
Sınır: İkinci temsil simetrik bir özel konum seçer ve aynı yay sonucunu kullanır; genel çevre açı teoreminin bağımsız kanıtı diye sunulmaz. Rastgele P için bu iki 33° eşitliği varsayılmaz.
P noktasını büyük yay üzerinde kaydırınca iki küçük üçgendeki taban açıları ayrı ayrı değişebilirken toplamın neden 66° kaldığını hangi yay açıklar?
Hatayı bul
“P ve Q çember üzerinde aynı AB kirişinin uçlarına baktığı için APB=AQB olur.” P ve Q karşı AB yayları üzerindeyken ilk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Aynı kirişi kullanmayı, köşeyi içermeyen aynı yayı görmekle eş tutmak.
Karşı yaylardaki köşeler farklı AB yaylarını görür. Bu açıların toplamı 180°dir; ancak özel çap durumunda ikisi de 90° olabilir. Eşitlik için aynı yay koşulunu kontrol et.
Küçük AOB merkez açısı 146° korunurken çevre açının köşesi büyük AB yayından küçük AB yayına alınırsa ölçü ne olur?
Büyük yaydaki köşe küçük 146°lik yayı görür, açı 73°dir. Küçük yaydaki köşe 360°−146°=214°lik büyük yayı görür, açı 107° olur; iki değer bütünlerdir.
Dersin soruları
1O merkezli çemberde A ve B farklı noktalar; küçük AOB merkez açısı 146°. P, büyük AB yayı üzerinde ve uçlardan farklı. APB çevre açısı kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?2A ve B bir çemberin farklı ve çapın uçları olmayan iki noktasıdır. P büyük AB yayında, Q küçük AB yayında; dört nokta birbirinden farklı. APB=58° ise AQB kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?3AB, O merkezli bir çemberin çapı; P çember üzerinde ve A,B noktalarından farklı. PAB=37° ise PBA kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1O merkezli çemberde A ve B farklı noktalardır. P, büyük AB yayı üzerinde ve A, B’den farklıdır; APB çevre açısı 46°dir. Büyük AB yayının ölçüsü kaç derecedir?
2Bir çember üzerinde A, B, C noktaları bu sırayla yerleşmiştir. B’den geçen yaylar şöyledir: AB yayı 80°, BC yayı 110° (aralarında başka nokta yoktur). ABC açısı kaç derecedir?
3AB, çap olmayan bir kiriştir. P ve Q çember üzerinde AB kirişinin zıt taraflarındaki yaylarda bulunur. APB=(2x+10)° ve AQB=(3x−20)° ise APB kaç derecedir?
4AB, O merkezli çemberin çapıdır; P çember üzerinde ve A, B’den farklıdır. PA=PB ise PAB kaç derecedir?
5P ve Q, AB kirişinin aynı tarafındaki yay üzerindedir; R ise zıt taraftaki yaydadır (kiriş çap değildir, beş nokta birbirinden farklıdır). APB=48° ise AQB+ARB toplamı kaç derecedir?
6Bir çember üzerinde A, B, C noktaları, AB : BC : CA yay ölçüleri 2 : 3 : 4 olacak biçimde yerleşmiştir (üç yay çemberi tamamlar). ABC açısı kaç derecedir?
7AB, O merkezli çemberin çapıdır. P çember üzerinde ve A, B’den farklıdır; küçük AOP merkez açısı 64°dir. PBA kaç derecedir?
8O merkezli çemberde A ve B farklı noktalardır; AB kirişinin uzunluğu yarıçapa eşittir (AB çap değildir). P, büyük AB yayı üzerindedir. APB kaç derecedir?
9Bir çember üzerinde A, B, C, D noktaları verilmiştir; C ve D, AB kirişinin aynı tarafındaki yay üzerindedir. ACB=(2x+4)° ve ADB=(x+30)° olduğuna göre C ile D’yi içeren AB yayının ölçüsü kaç derecedir?
10AB, O merkezli çemberin çapıdır. C, çember üzerinde A, B’den farklı bir noktadır ve küçük AOC merkez açısı 50°dir. BAC kaç derecedir?
Aklında kaldı mı?
APB çevre açısı iki AB yayından hangisini görür?
P köşesini içermeyen AB yayını. Açının ölçüsü bu yayın yarısıdır; yalnız A ve B uçlarının aynı olması doğru yayı seçmeye yetmez.
Çapı gören çevre açı neden 90°dir?
Çapın uçları arasındaki her yarım yay 180°dir. Çevre açı köşesini içermeyen bu yayın yarısını alır: 180°/2=90°.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.