YKS · GEOMETRİ

Üçgende benzerlik: eşleşmeyi kur, oranı koru

Bu derste Benzerlik sırasından karşılıklı köşe ve kenar eşleşmelerini çıkarır; aynı yönlü uzunluk oranı kurar. AA, KAK ve KKK benzerlik koşullarını ayırır; paralellikten gelen açı eşitliğini açık gerekçeyle kullanır.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Köşe eşleşmesi, benzerlik koşulları ve parça–bütün. Birinci panel döndürülmüş iki üçgende eşleşen köşeleri renkle, karşılık gelen kenarları çizgi deseniyle gösterir. İkinci panel AA, KAK ve KKK için yalnız gereken ölçüleri vurgular. Üçüncü panel DE∥BC iç içe üçgeninde AD ve bütün AB kenarını DB kalanından ayırır. — **Köşe eşleşmesi, benzerlik koşulları ve parça–bütün.** Birinci panel döndürülmüş iki üçgende eşleşen köşeleri renkle, karşılık gelen kenarları çizgi deseniyle gösterir. İkinci panel AA, KAK ve KKK için yalnız gereken ölçüleri vurgular. Üçüncü panel DE∥BC iç içe üçgeninde AD ve bütün AB kenarını DB kalanından ayırır. Çizim ölçekli değildir; uzunluk ve açı ölçülmez, hiçbir soru verisini temsil etmez. Dejenere olmayan Öklid üçgenleri modelidir. Paralellik okla verilmiş koşuldur; paralel ok olmadan iç içe oran kurulmaz. KAK satırındaki açı orantılı kenarların arasındaki açıdır.

Bu derste dejenere olmayan Öklid üçgenleri kullanılır. ABC∼DEF sırası A↔D, B↔E, C↔F eşleşmesini belirtir; buna göre AB↔DE, AC↔DF, BC↔EF olur. Üçgenin döndürülmesi veya aynalanması eşleşmeyi değiştirmez. Benzerlikte karşılıklı açılar eşit, karşılıklı uzunluklar ortak pozitif bir oranla bağlantılıdır; resimde en yatay görünen iki kenarı otomatik eşleştirme.

Açı-Açı, AA, için karşılıklı iki açı çiftinin eşitliği yeterlidir. Üçüncü çift de üçgen iç açı toplamından eşit çıkar. Bu koşul uzunlukların eşit olduğunu söylemez; aynı açıları taşıyan farklı büyüklükte üçgenler olabilir. Paralel doğrular verildiğinde yöndeş veya iç ters açı eşitliğini kullanabiliriz; şekil üzerinde yaklaşık paralel görünmeleri veri değildir. Her benzerlik adımında hangi iki açı çiftinin kullanıldığını belirt.

Kenar-Açı-Kenar, KAK, için karşılıklı iki kenar çifti aynı oranda ve bu iki kenarın arasındaki açılar eşit olmalıdır. İki kenar orantılı ve herhangi başka açı eşit diye aynı teoremi uygulayamayız. Kenar-Kenar-Kenar, KKK, için üç karşılıklı kenar çiftinin de oranları aynı olmalıdır. İki orana bakıp üçüncüyü denetlemeden KKK sonucuna geçme; geçerli üçgenlerin kenarları pozitif ve sıkı üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.

Oran kurarken yönü sabitle: ABCden DEFye ölçek k=DE/AB ise diğer yeni kenarlar da eski karşılıklarının k katıdır. Bir kesirde büyük/küçük, ötekinde küçük/büyük yazmak eşitlik sağlamaz. İç içe üçgenlerde AD ile AB gibi bir parça–bütün eşleşmesi olabilir; kalan DB parçası AB yerine geçmez. Önce bütün uzunluğu AD+DB ile bulup sonra karşılıklı oranı kur.

Benzerlik kanıtlandıktan sonra bilinmeyen kenarı tek bir geçerli oranla bulabiliriz; oranla bulunan adayın diğer verilenlerle uyumunu da kontrol ederiz. Çevre de aynı uzunluk oranıyla değişir, alan ise uzunluk oranının karesiyle değişir; bu derste sorular uzunluk odaklıdır. k=1 ise karşılıklı kenarlar eşit olur ve üçgenler ayrıca eştir. Benzerlik sadece çizimin güzel veya aynı biçimde görünmesiyle onaylanmaz; AA, KAK veya KKK için verilen koşullardan birini kurmak gerekir.

KISACA

ABC∼DEF sırası köşe ve kenar eşleşmesini taşır. AA: iki karşı açı eşit. KAK: iki kenar oranı aynı ve aradaki açı eşit. KKK: üç karşılıklı oran aynı. Ölçeği aynı yönde kur; parçayı bütün kenarın yerine koyma, görünüşe güvenme.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

ABC ve DEF üçgenlerinde A ile D açıları, B ile E açıları eşit. AB=7 cm, DE=10,5 cm, BC=8 cm. EF uzunluğunu iki temsille bulunuz.

AA ve orantı

A↔D ve B↔E açıları eşit; AA ile ABC∼DEF, C↔F. Dolayısıyla AB/DE=BC/EF.
7/10,5=8/EF → EF=12 cm.

Sınır: EF, BCye karşılık gelir; DFyi BCyle eşleştirmek harf sırasını bozar.

Ölçek çarpanı

Aynı AA eşleşmesiyle DEF, ABCnin DE/AB=10,5/7=1,5 ölçekli benzeridir.
Karşılık gelen BC=8 de 1,5 ile çarpılır: EF=12 cm.

Sınır: Bu oran hesabının ölçek temsilidir; AA kanıtını atlayıp yalnız tek kenar oranından bütün üçgenlerin benzerliği çıkarılmaz.

Bir yöntem küçüğün büyüğe oranını, diğeri büyütme çarpanını kullanıyor. Neden her ikisi de aynı EF değerini veriyor?

HATA AVI

Hatayı bul

“İki üçgende karşılıklı iki kenar 2:3 oranında. Bir açıları da eşit; bu açıların orantılı kenarlar arasında olup olmadığını bilmeden KAK benzerliği vardır.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: KAK için gerekli arada kalan açı koşulunu, herhangi eşit açı bilgisiyle değiştirmek.

Oran verilen iki kenarın arasındaki açılar eşit olmalıdır. Bu konum bilgisi yoksa KAK teoremiyle benzerlik gerekçelenmez; başka bir AA veya KKK koşulu ayrıca aranır.

İç içe ADE ve ABC üçgenlerinde D ve E aynı kenarlarda kalırken DE∥BC bilgisi kaldırılırsa yalnız AD=4,DB=6,AE=5 ile EC=7,5 sonucu kesin çıkar mı?

Hayır. Bu uzunluklar tek başına AA/KAK/KKK benzerliğini kurmaz; E noktasının AC üzerindeki konumu için ek koşul gerekir. Önceki 4/10=5/AC oranı paralellikten gelen benzerliğe dayanıyordu.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

ABC∼DEF yazımı yalnız üçgen adları mı, eşleşme de verir mi?

Eşleşme de verir: A↔D, B↔E, C↔F; AB↔DE, AC↔DF, BC↔EF. Oranlar bu karşılıklara göre kurulur.

KAK benzerliğinde hangi açı eşit olmalıdır?

Orantılı olduğu verilen iki kenarın arasında kalan açı. Herhangi başka bir açının eşitliği aynı koşul değildir.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.