hepnotBenzer üçgenlerde uzunluk ve alan neden farklı ölçeklenir?
Konunun mantığı
Önce hangi iki üçgenin benzer olduğunun bilindiğini ve hangi kenarların karşılıklı olduğunu belirle. Benzerlikte bütün karşılıklı kenarlar aynı pozitif k oranıyla değişir. Aynı kenarlara ait yükseklikler de bu k oranıyla değişir. Örneğin ikinci üçgenin karşılıklı kenarı birincinin yarısıysa karşılıklı yüksekliği de yarısıdır.
Birinci üçgenin bir tabanına b, o tabana ait dik yüksekliğine h diyelim. Alanı b × h / 2 olur. Benzer ikinci üçgende aynı eşleşmeyle taban k × b, yükseklik k × h olur. Yeni alan (k × b) × (k × h) / 2 = k² × (b × h / 2) olduğundan alan k ile değil k² ile çarpılır. İki ayrı uzunluk çarpıldığı için ölçek çarpanı iki kez hesaba girer.
Ters yönde düşünürken de uzunluk ile alanı ayır: İkinci alanın birinci alana oranı 9/4 ise, üçgenlerin benzer olduğu bilindiğinde karşılıklı uzunluk oranı √(9/4) = 3/2 olur. Uzunluk oranı pozitif seçilir. Hangi üçgeni paya yazdıysan kenar oranında da aynı sırayı koru. Sırayı değiştirirsen hem alan oranını hem uzunluk oranını ters çevirmelisin.
Yalnız bir tabanı iki katına çıkarmak farklı bir işlemdir. O tabana ait yükseklik sabit tutulursa alan iki katına çıkar. Bütün uzunluklar iki katına çıkarsa yükseklik de iki katına çıkar ve alan dört katına çıkar. Yalnız alan oranını bilmek ise iki üçgenin benzer olduğunu kanıtlamaz; bu derste kare bağıntısını kullanırken benzerlik ayrıca verilmiş veya doğrulanmış olmalıdır.
Üçgenler benzer ve ikinci/birinci karşılıklı uzunluk oranı k > 0 ise, alan oranı k² olur. Alan oranından uzunluk oranına geçerken pozitif karekök al. Sadece taban değişip o tabana ait yükseklik aynı kalırsa alan tabanla aynı oranda değişir; bu durum tek başına benzerlik kanıtı değildir.
Adım adım bir örnek
Bir üçgenin tabanı 8 cm, bu tabana ait yüksekliği 6 cm. Bu üçgenle benzer olan ikinci üçgenin karşılıklı bütün uzunlukları ilkinin yarısıdır. İkinci üçgenin alanı kaç cm² olur?
Önce uzunlukları değiştir
- Benzerlik oranı ikinci/birinci = 1/2.
- Yeni taban 8 × 1/2 = 4 cm; yeni yükseklik 6 × 1/2 = 3 cm.
- Yeni alan 4 × 3 / 2 = 6 cm².
Sınır: Taban ile o tabana ait yükseklik eşleşmeli. Yalnız bir kenarı yarıya indirip yüksekliği aynı bırakırsan bu çözüm uygulanmaz.
Önce alan oranını kur
- İlk alan 8 × 6 / 2 = 24 cm².
- Benzerlikte alan çarpanı (1/2)² = 1/4.
- İkinci alan 24 × 1/4 = 6 cm².
Sınır: Alan çarpanının k² olması için benzerlik bilinmeli. Alanların 1/4 oranında olması tek başına benzerlik kanıtı değildir.
İlk yöntemde iki ayrı uzunluğu yarıya indirmek, ikinci yöntemdeki 1/4 alan çarpanını nasıl açıklıyor?
Hatayı bul
İki üçgenin benzer olduğu ve ikinci üçgenin karşılıklı kenarlarının ilkinin 3 katı olduğu biliniyor. Bir öğrenci “O hâlde alanı da 3 katıdır” diyor.
İlk hatayı göster
İlk hata: Uzunluk çarpanı alan çarpanı olarak kullanılmış; karşılıklı yükseklik de 3 ile çarpılır.
A = b·h/2 içinde hem b hem h 3 katına çıkar. Yeni alan 3·3·A = 9A olur.
Tabanı 8 cm, o tabana ait yüksekliği 6 cm olan üçgende iki durumu karşılaştır: (i) bütün uzunlukları iki katına çıkar; (ii) tabanı iki katına çıkar, o tabana ait yüksekliği aynı tut. Alanlar ne olur?
İlk alan 24 cm²dir. (i) Benzer büyütmede alan 4 katına çıkar: 96 cm². (ii) Yeni taban 16 cm ve yükseklik 6 cm olduğundan alan 48 cm²dir. İkinci işlem, yalnız bu verilenlerle bir benzer büyütme sayılamaz.
Dersin soruları
1Tabanı 6 cm ve bu tabana ait yüksekliği 4 cm olan üçgenin benzeri çiziliyor. Yeni üçgenin karşılıklı uzunlukları ilkinin 1,5 katıdır. Yeni alan kaç cm² olur?
Bu soruda hata mı var?2Benzer iki üçgenin alanları 18 cm² ve 50 cm²dir. Küçük üçgenin bir kenarı 9 cm ise büyük üçgenin bu kenara karşılık gelen kenarı kaç cm olur?
Bu soruda hata mı var?3Tabanı 6 cm, bu tabana ait yüksekliği 4 cm olan bir üçgende taban 12 cm olacak biçimde yeni bir üçgen kuruluyor. Yeni üçgenin bu tabana ait yüksekliği yine 4 cm. Başka bir benzerlik bilgisi verilmemiş. Yeni üçgenin alanı kaç cm²dir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1ABC ve DEF üçgenleri benzerdir (A↔D, B↔E, C↔F). |AB| = 4 cm, |DE| = 10 cm ve ABC üçgeninde AB tabanına ait yükseklik 3 cm ise DEF üçgeninde DE tabanına ait yükseklik kaç cm’dir?
2Bir üçgenin benzeri çizilirken karşılıklı bütün uzunluklar ilkinin 2/3’üne indiriliyor ve küçük üçgenin alanı 24 cm² oluyor. İlk üçgenin alanı kaç cm²’dir?
3Benzer iki üçgenin küçüğünün alanının büyüğünün alanına oranı 0,64’tür. Büyük üçgenin çevresi 50 cm ise küçük üçgenin çevresi kaç cm’dir?
4Bir fotokopi makinesi bir üçgenin bütün uzunluklarını aynı oranda büyütüp özgün çizimin benzerini veriyor ve görüntünün alanı özgün alandan %44 fazla oluyor. Uzunluklar yüzde kaç büyümüştür?
5Alanları 18 cm² ve 72 cm² olan iki üçgen hakkında hangisi doğrudur?
6Benzer iki üçgenden büyüğünün karşılıklı kenarları küçüğünkinin 1,5 katıdır. Alanlarının farkı 45 cm² ise büyük üçgenin alanı kaç cm²’dir?
7Bir üçgen levhanın tabanı önce 2 katına çıkarılıyor (yükseklik aynı kalıyor); sonra yüksekliği 3 katına çıkarılıyor (taban 2 katında kalıyor). Son levhanın alanı ilk levhanınkinin kaç katıdır?
8İki üçgenin alanlar oranının pozitif karekökünü karşılıklı uzunluk oranı olarak kullanabilmek için hangisi gereklidir?
9Benzer ABC ve DEF üçgenlerinde BC tabanı 9 cm ve ona ait yükseklik 6 cm’dir. BC’ye karşılıklı EF kenarı 12 cm ise DEF üçgeninin alanı kaç cm²’dir?
10Bir arsanın üçgen biçimli planı 1:500 ölçeğiyle çizilmiştir ve plan, arsanın benzeridir. Plandaki üçgenin bir kenarı 6 cm, ona ait yükseklik 4 cm ise arsanın gerçek alanı kaç m²’dir?
Aklında kaldı mı?
Benzer iki üçgende ikinci/birinci karşılıklı uzunluk oranı k ise aynı sıradaki alan oranı nedir?
k². Benzerlik bilinmeli, k pozitif olmalı ve karşılaştırma sırası korunmalı.
Üçgenin tabanı iki katına çıkıp o tabana ait yüksekliği sabit kalırsa alan nasıl değişir?
İki katına çıkar. Bu bilgi tek başına iki üçgenin benzer olduğunu göstermez.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.