hepnotAnalitik düzlemde nokta: konum, orta nokta ve uzaklık
Konunun mantığı
![Uzaklık üçgeni ve koordinat ortalaması. Birinci panel koordinat farklarını dik kenar, AB parçasını hipotenüs olarak gösterir ve kırık eksen yolunu düz uzaklıktan ayırır. İkinci panel orta noktayı x ve y şeritlerinde ayrı ortalamalarla işaretler. Üçüncü panel uçlara eşit uzaklıktaki ama [AB] dışındaki C noktasıyla orta nokta koşulunu karşılaştırır.](/gorsel/geometri-analitik-nokta.svg)
Bu derste düzlemde birbirine dik x ve y eksenleri ve her ikisinde aynı uzunluk birimi kullanılır. A=(x,y) sıralı ikilisinde önce yatay apsis x, sonra düşey ordinat y yazılır. Orijin (0,0)dır. Bir şeklin ekran ya da kâğıt üzerinde farklı ölçeklerde basılması gerçek birim uzaklığını değiştirmez; uzunluğu piksellerden değil koordinatlardan hesaplarız. Dik olmayan veya farklı fiziksel birim kullanan sistemde bu uzaklık formülü doğrudan aynı yorumla kullanılamaz.
Birinci bölgede iki koordinat pozitif, ikinci bölgede x negatif y pozitif, üçüncüde ikisi negatif, dördüncüde x pozitif y negatiftir. x=0 olan noktalar y ekseninde, y=0 olanlar x eksenindedir; eksen noktaları dört açık bölgenin hiçbirinin içinde değildir. Bir noktanın x eksenine dik uzaklığı |y|, y eksenine dik uzaklığı |x| olur. Koordinat negatif olabilir ama uzaklık negatif olamaz.
A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂) noktalarının yatay ve düşey değişimleri Δx=x₂−x₁, Δy=y₂−y₁dir. Bu farklar yönlü değişimlerdir; uzunlukları |Δx| ve |Δy| olur. Noktalar aynı yatay doğruda ise uzaklık |Δx|, aynı düşey doğruda ise |Δy|dir. İkisi de değişiyorsa |Δx|+|Δy| kırık bir eksen yolu uzunluğudur; iki nokta arasındaki düz uzaklıkla genellikle eşit değildir.
Dik eksenler sayesinde koordinat farkları bir dik üçgenin kenarları olarak ele alınır: |AB|=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]. Kareler yön işaretini kaldırır, karekökün negatif olmayan değeri uzunluğu verir. A ile B sırasını değiştirmek uzaklığı değiştirmez. Noktalar çakışınca sonuç 0 olur; farklı iki nokta için pozitiftir. Uzunluk verilerek bilinmeyen koordinat aranıyorsa kareyi çözerken iki işaret dalı çıkabilir.
Farklı A ve B noktaları arasındaki doğru parçasının orta noktası M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) olur. Her iki koordinattaki toplam ayrı ayrı ikiye bölünür; x ile y birbirine karıştırılmaz. Alternatif olarak A noktasından B yönündeki toplam değişimin yarısı kadar ilerlenir. |AM|=|MB| tek başına düzlemde orta noktayı tanımlamaya yetmez; Mnin [AB] üzerinde olması da gerekir. Örneğin bir parçanın orta dikmesi üzerindeki başka noktalar uçlara eşit uzaklıkta olabilir.
(x,y): önce apsis, sonra ordinat. x eksenine uzaklık |y|, y eksenine uzaklık |x|. Dik ve eş birimli eksenlerde uzaklık √(Δx²+Δy²), orta nokta koordinatların ayrı ortalamasıdır. Eş uzaklık yanında [AB] üzerinde olma koşulu gerekir.
Adım adım bir örnek
Eş birimli dik koordinat düzleminde A=(−5,2), B=(7,8). [AB] orta noktasını ve AB uzunluğunu iki temsille bulunuz.
Koordinat formülleri
- M=((−5+7)/2,(2+8)/2)=(1,5).
- |AB|=√[(7−(−5))²+(8−2)²]=√180=6√5 birim.
Sınır: Orta nokta için toplam, uzaklık için farklar kullanılır; iki formül birbirine karıştırılmaz.
Değişimin yarısı ve Pisagor
- A noktasından B noktasına 12 birim sağa, 6 birim yukarı gidilir; yarısı 6 sağa, 3 yukarıdır. A+(6,3)=(1,5).
- Yatay/düşey değişim üçgeninde dik kenarlar 12 ve 6; hipotenüs √(144+36)=6√5.
Sınır: Bu temsil aynı orta nokta ve Pisagor ilişkilerini görselleştirir; 12+6=18, düz uzaklık değil eksenlere paralel kırık yol uzunluğudur.
Orta nokta hesabında neden toplam, uzaklık hesabında fark var? Noktaların sırası ters çevrilince bu iki sonuç değişir mi?
Hatayı bul
“A=(−2,0), B=(2,0) uçlarına C=(0,3) eşit uzaklıkta; bu yüzden C, [AB] orta noktasıdır.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Uçlara eşit uzaklıkta olmayı, parça üzerinde olma koşulu olmadan orta nokta için yeterli saymak.
C iki uca √13 uzaklıktadır ama [AB] üzerinde değildir; ordinatı 3tür. [AB] orta noktası koordinat ortalamalarından (0,0) bulunur. Orta dikmedeki her nokta orta nokta değildir.
A=(−6,4) ve B=(2,−2) noktalarının ikisi de 3 birim sağa, 5 birim aşağı ötelenirse orta nokta ve aralarındaki uzaklık nasıl değişir?
Yeni noktalar (−3,−1) ve (5,−7); yeni orta nokta (1,−4) olur. Eski orta nokta (−2,1) de aynı ötelemeyi alır. Koordinat farkları (8,−6) korunduğundan eski ve yeni uzaklık 10 birimdir.
Dersin soruları
1Dik koordinat düzleminde P=(0,−7). Noktanın konumu ve x eksenine uzaklığı hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2A=(−6,4) ve B=(2,−2) noktaları arasındaki [AB] doğru parçasının orta noktası hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Eş birimli dik koordinat düzleminde A=(−3,2), B=(5,t) ve |AB|=10 birim. Gerçek t değerlerinin kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Dik koordinat düzleminde P=(m−4, m−1) noktası ikinci bölgededir. m’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
2Bir P noktası üçüncü bölgededir; y eksenine uzaklığı 4 birim, x eksenine uzaklığı 6 birimdir. P’nin koordinatları hangisidir?
3Eş birimli dik koordinat düzleminde A=(−2,−1) ve B=(3,11) noktaları veriliyor. A’dan B’ye düz uzaklık ve eksenlere paralel (önce yatay, sonra düşey) kırık yolun uzunluğu için hangisi doğrudur?
4Eş birimli dik koordinat düzleminde A=(1,3) noktasına uzaklığı 5 birim olan ve x ekseni üzerinde bulunan bütün noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
5Bir [AB] doğru parçasının orta noktası M=(1,−2) ve bir ucu A=(−3,4)’tür. Diğer uç B hangisidir?
6A ve B farklı iki noktadır. Bir M noktasının [AB]’nin orta noktası olduğunu kesinleştirmek için hangi bilgi tek başına yeterlidir?
7Eş birimli dik koordinat düzleminde köşeleri A=(0,0), B=(6,8) ve C=(6,0) olan ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
8A=(−3,−8) ve B=(5,2) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasının orta noktasının x eksenine uzaklığı kaç birimdir?
9Eş birimli dik koordinat düzleminde A=(−1,2) ve B=(5,10) noktaları veriliyor. M, [AB]’nin orta noktası ise |AM| kaç birimdir?
10Eş birimli dik koordinat düzleminde A=(0,4) ve B=(8,0) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki P noktası A ve B’ye eşit uzaklıktadır. P hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Uzaklık formülünde neden koordinat farklarının kareleri var?
Dik eksenlere paralel yatay/düşey değişimler bir dik üçgen kurar; Pisagor kareleri toplar. Negatif olmayan karekök uzunluğu verir; yön değişimi sonucu etkilemez.
|AM|=|MB| bilgisi düzlemde Mnin orta nokta olduğunu tek başına söyler mi?
Hayır. Mnin [AB] üzerinde olması da gerekir. Orta nokta ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) ile bulunur; eş uzaklıktaki başka noktalar olabilir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.