YKS · GEOMETRİ

Analitik doğru: eğim, denklem ve dikey istisna

Bu derste İki farklı noktadan eğimi koşuluyla bulur; dikey doğruyu eğimi sıfır olan yatay doğrudan ayırır. Nokta-eğim ve genel denklem biçimlerini kullanır; ayrı paralel doğrularla çakışık doğruları ayırır.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Eğim farkları, özel doğrular ve aynı eğimli doğrular. Birinci panel eğimi aynı sırayla alınan Δy ve Δx yönlü farklarından kurar. İkinci panel yatay doğrunun 0 eğimini dikey doğrunun sıfır paydalı, tanımsız eğiminden ayırır ve eğik doğrunun y kesişimini gösterir. Üçüncü panel aynı eğimde n₁≠n₂ ile ayrı paralelliği, katsayı katıyla çakışıklığı karşılaştırır. — **Eğim farkları, özel doğrular ve aynı eğimli doğrular.** Birinci panel eğimi aynı sırayla alınan Δy ve Δx yönlü farklarından kurar. İkinci panel yatay doğrunun 0 eğimini dikey doğrunun sıfır paydalı, tanımsız eğiminden ayırır ve eğik doğrunun y kesişimini gösterir. Üçüncü panel aynı eğimde n₁≠n₂ ile ayrı paralelliği, katsayı katıyla çakışıklığı karşılaştırır. Çizim ölçekli değildir; ızgara numarasızdır, eğim veya kesişim değeri şekilden okunmaz ve hiçbir soru verisini temsil etmez. Dik ve eş birimli eksen modeli kullanılır. Eşit görünen eğim veri değildir; paralellik okla, çakışıklık katsayı katıyla verilmiş koşuldur.

Dik koordinat düzleminde iki farklı A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂) noktası tek bir doğru belirler. x₂≠x₁ ise eğim m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) olur: yataydaki bir birimlik değişime karşı düşey değişimin oranını verir. İki fark aynı sırayla alınmalıdır. A ve B sırasını birlikte ters çevirmek iki işareti de değiştirir ve aynı eğimi verir; yalnız payın sırasını değiştirmek işaret hatası üretir.

x₂=x₁, y₂≠y₁ olduğunda doğru dikeydir; denklemi x=x₁ ve eğimi tanımsızdır. Bu durumda sıfıra bölerek bir gerçek eğim üretemeyiz. y₂=y₁ ve x₂≠x₁ olduğunda doğru yataydır; denklemi y=y₁ ve eğimi 0 olur. İki nokta aynıysa 0/0 oranı elde edilir ve tek bir doğru belirlenemez; “eğim 0” sonucu çıkmaz.

Dikey olmayan doğru P=(x₀,y₀) noktasından geçiyor ve eğimi m ise y−y₀=m(x−x₀) yazılır. Bu ifade y=mx+n biçimine getirilebilir; n, y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. x katsayısını eğim diye okumak için y katsayısının 1 olacak biçimde yalnız bırakılmış olması gerekir. Örneğin genel Ax+By+C=0 denkleminde B≠0 ise m=−A/B; yalnız A değildir.

Genel doğru denklemi Ax+By+C=0 biçiminde ve (A,B)≠(0,0) koşuluyla yazılabilir. B=0 ise A≠0 olur ve x=−C/A dikey doğrusuna geçilir. Denklemin bütün katsayılarını aynı sıfır olmayan sayıyla çarpmak aynı noktaları verir; yeni bir doğru oluşturmaz. Bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını denkleme koyarak kontrol ederiz; çizimde yakın görünmesi yeterli değildir.

Dikey olmayan iki doğrunun eğimleri eşitse doğrultuları aynıdır: y=mx+n₁ ve y=mx+n₂ için n₁≠n₂ ise ayrı paralel, n₁=n₂ ise çakışıktırlar. Bu derste paralel sözcüğü ortak noktası olmayan ayrı doğrular için kullanılır. İki farklı dikey x=p ve x=q doğrusu da p≠q ise paraleldir; bunun için tanımsız eğimleri sayısal olarak eşitlemeye gerek yoktur. Eğimler farklıysa iki dikey olmayan doğru bir noktada kesişir; dikey bir doğrunun dikey olmayanla kesişimi de ayrıca bulunabilir.

KISACA

x₂≠x₁ için m=Δy/Δx. Dikey x=p: eğim tanımsız; yatay y=q: eğim 0. Nokta-eğim: y−y₀=m(x−x₀). Ax+By+C=0, (A,B)≠(0,0); B≠0 ise m=−A/B. Aynı eğim ayrı paralellik veya çakışıklık verebilir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

A=(−2,5) ve B=(4,−4) noktalarından geçen doğrunun denklemini iki yöntemle bulunuz.

Eğim ve bir nokta

m=(−4−5)/(4−(−2))=−9/6=−3/2.
y−5=(−3/2)(x+2) → y=−3x/2+2; eşdeğer genel biçim 3x+2y−4=0.

Sınır: İki apsis farklı olduğu için sonlu eğim yöntemi kullanılabilir; dikey doğruya bu oran uygulanmaz.

y=mx+n katsayı sistemi

İki noktayı yerine koy: 5=−2m+n, −4=4m+n. İkinci eşitlikten birinciyi çıkar: −9=6m.
m=−3/2; ilk eşitlikte 5=3+n → n=2; y=−3x/2+2.

Sınır: Bu biçim dikey olmayan doğru içindir. Aynı iki bağıntıyı katsayı sistemiyle çözer; bağımsız bir geometri teoremi değildir.

İki yöntemdeki −9/6 oranı neden aynı değişim bilgisidir? B noktasının apsisi de −2 olsaydı hangi denklem biçimine geçmek gerekirdi?

HATA AVI

Hatayı bul

“2x−4y+8=0 ve x−2y+4=0 doğrularının eğimleri eşit olduğuna göre bunlar ayrı paraleldir.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Eğim eşitliğinden çakışıklığı kontrol etmeden ayrı paralellik sonucuna geçmek.

İlk denklem ikincinin 2 katıdır; ikisi de y=x/2+2 doğrusunu verir. Sonsuz ortak noktaları vardır; bu dersteki ayrı paralellik tanımına göre çakışıktırlar.

3x−y+5=0 doğrusuna paralel doğru P=(2,−1) yerine Q=(2,11) noktasından geçirilirse ayrı bir doğru elde edilir mi?

Eğim 3 korunur; 11=3·2+n → n=5. Bu kez y=3x+5, yani başlangıç doğrusunun kendisi çıkar. Q zaten o doğru üzerindedir; Qdan geçen aynı doğrultulu ayrı bir paralel yoktur.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

x=5 ile y=5 doğrularının eğimleri aynı mı?

Hayır. x=5 dikeydir, eğimi tanımsızdır. y=5 yataydır, eğimi 0dır.

Ax+By+C=0 denkleminde eğim her zaman −A/B mi?

Yalnız B≠0 ise. (A,B)≠(0,0) doğru koşuludur; B=0 olduğunda x=−C/A dikey doğrusu elde edilir ve eğimi tanımsızdır.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.