hepnotİç açıortay: açı eşitliği, kenar oranı ve doğru eşleştirme
Konunun mantığı
Dejenere olmayan ABC üçgeninde A’nın iç açıortayı, A iç açısını iki eş açıya ayıran ışındır. Bu ışının BC kenarını kestiği D noktası B ile C arasındadır; D bir uç nokta değildir. Burada karşı kenarı içten bölen doğru parçası ADile çalışıyoruz. Dış açıortay ve uzantı üzerindeki bölme bu dersin modeli değildir.
İç açıortay teoremi, açısal bilgiyi uzunluk oranına bağlar: AB/AC=BD/DC. A’dan başlayan iki komşu kenarla, onların B ve Ctarafındaki karşı kenar parçalarını aynı sırayla eşleştir. Bir oranı ters çeviriyorsan diğerini de ters çevir: AC/AB=DC/BD. Yalnız bir tarafın sırasını çevirmek oranı bozar.
Toplam karşı kenar BC=BD+DCdir. AB:AC=m:nise m,n>0 olmak üzere BD:DC=m:nve parçalar mk,nk yazılabilir; k pozitif olmalıdır. Toplam biliniyorsa (m+n)k=BCkurulur. AB ve ACuzunluklarının toplamı ile BCaynı uzunluk değildir; teorem oran kurar, komşu kenarları doğrudan karşı kenara yapıştırmaz.
Açıortay genel olarak karşı kenarı eş iki parçaya ayırmaz. BD=DCsonucu, açıortay teoremi altında AB=ACdurumuyla bağlantılıdır. Aynı şekilde açıortay genel olarak yükseklik değildir; karşı kenara diklik eklemek için ek koşul gerekir. İkizkenar özel durumundaki çakışmaları bütün üçgenlere taşımayacağız.
Çözümde önce açı eşitliğinin verildiğini ve D’nin iç nokta olduğunu denetle. Sonra parça oranını, toplamı ve pozitif uzunlukları kontrol et. İki farklı hesap temsili aynı açıortay teoremine dayanabilir; bunu iki bağımsız geometrik kanıt gibi sunma. Şekilde açıortay veya eş kenar öyle görünüyor diye teorem öncülü ekleme.
ABC üçgeninde D,BC’nin iç noktası ve AD,A iç açıortayıysa AB/AC=BD/DC. Sıra eşleşmesini ve BD+DC=BCtoplamını koru. Açıortay genel olarak kenarortay veya yükseklik değildir; dıştan bölmeye bu formülü koşulsuz taşıma.
Adım adım bir örnek
ABC üçgeninde AD iç açıortay, D noktası BC’nin içinde. AB=10,AC=15,BC=20 birim ise BD ve DC kaç birimdir?
Oran katsayısıyla parçala
- BD/DC=10/15=2/3;BD=2 k,DC=3 k yaz.
- 5 k=20 →k=4. Böylece BD=8,DC=12.
Sınır: Parçalar aynı pozitif k çarpanını paylaşmalı; AB ve ACtoplamının BCye eşit olduğu varsayılmaz.
Toplamın payını hesapla
- BD/(BD+DC)=AB/(AB+AC)=10/25.
- BD=20×10/25=8;DC=20−8=12.
Sınır: Bu oran, ilk açıortay oranına toplam ekleyerek türetilir; ayrı bir geometrik teorem veya bağımsız ispat değildir.
İkinci yöntemdeki 25 sayısı neden komşu kenarların toplamı,20 ise karşı kenarın toplamıdır? İki farklı toplamın karıştırılması sonucu nasıl bozar?
Hatayı bul
Bir öğrenci AB/AC=2/3iken iç açıortay için BD/DC=3/2yazıyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Komşu kenarlardan karşı parçalara geçerken B ve Csırasını yalnız bir tarafta ters çevirmek.
D,BC’nin iç noktası ve AD iç açıortaysa BD/DC=AB/AC=2/3. Ters oran kullanılacaksa DC/BD=AC/AB=3/2 olmalıdır.
Son soruda yalnız BD=DC=5 korunup AD’nin açıortay olduğu bilgisi kaldırılırsa AB=AC zorunlu olur mu?
Hayır. D yalnız orta nokta olur. Örneğin AB=7,AC=9,BC=10 uzunlukları bir üçgen oluşturabilir; D,BC’nin ortası seçilir ama komşu kenarlar eşit değildir. Açıortay öncülü olmadan aynı oran çıkarımı kullanılamaz.
Dersin soruları
1ABC üçgeninde D,BC kenarının iç noktası ve AD,A iç açıortayıdır. AB=9,AC=12,BC=14 birim. BD kaç birimdir?
Bu soruda hata mı var?2ABC üçgeninde AD,A iç açıortayı ve D,BC’nin iç noktası. BD:DC=2:5 ve AB+AC=28 birim. AC−ABkaç birimdir?
Bu soruda hata mı var?3ABC üçgeninde AD,A iç açıortayı; D,BC’nin iç noktası ve BD=DC=5 birim. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1ABC üçgeninde D, BC kenarının iç noktasıdır ve AD, A iç açıortayıdır. |BD|=9, |DC|=12 ve |AB|=15 birim ise |AC| kaç birimdir?
2ABC üçgeninde D, BC kenarının iç noktasıdır ve AD, A iç açıortayıdır. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi her zaman doğrudur?
3ABC üçgeninde AD, A iç açıortayı ve D, BC’nin iç noktasıdır. |AB| : |AC| = 3 : 5 ve |BC| = 24 birim ise |DC| − |BD| kaç birimdir?
4ABC üçgeninde AD, A iç açıortayı ve D, BC’nin iç noktasıdır. |AB| : |AC| = 3 : 5, |AB| + |AC| = 40 ve |BC| = 32 birimdir. |BD| kaç birimdir?
5Üçgen biçimli bir ABC arsasında, A köşesinden BC kenarına çekilen AD yolu A açısını iki eşit açıya ayırıyor ve D, BC üzerinde uç noktalar dışında bir noktadır. |AB|=24 m, |AC|=36 m ve |BD|=12 m ise |BC| kaç metredir?
6ABC üçgeninde AD, A iç açıortayı ve D, BC’nin iç noktasıdır. |BD| : |DC| = 4 : 5, üçgenin çevresi 63 birim ve |BC| = 27 birimdir. |AB| kaç birimdir?
7ABC üçgeninde D, BC kenarının iç noktasıdır ve AD doğru parçası çizilmiştir; AD’nin A açısını ikiye böldüğü söylenmemiştir. |AB|=9, |AC|=15 ve |BC|=16 birimdir. |BD| için hangisi kesinlikle doğrudur?
8ABC üçgeninde AD, A iç açıortayıdır ve D, BC’nin iç noktasıdır. |BD|=2, |DC|=10 ve |AB|=3 birim verilmiştir. Bu verilerle böyle bir üçgen oluşabilir mi?
9ABC üçgeninde AD, A iç açıortayıdır; D, BC’nin iç noktasıdır, |BD| = |DC| = 7 birim ve |AB| + |AC| = 24 birimdir. |AB| kaç birimdir?
10ABC üçgeninde |AB|=7, |AC|=9 ve |BC|=12 birimdir. AD, A iç açıortayıdır ve D, BC’nin iç noktasıdır. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Aklında kaldı mı?
İç açıortay teoreminde AB/ACoranı hangi karşı parça oranına eşittir?
AD,A iç açıortayı ve D,BC’nin içinde ise BD/DCye. Açıortay köşesi A, B ve Csırasını belirler.
İç açıortay karşı kenarı her zaman eşit böler mi?
Hayır. Parçalar komşu kenarlarla orantılıdır. AD iç açıortay koşulunda BD=DCise AB=AColur; eş parça özel durumdur.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.