hepnotKüresel ayna: paraksiyal yansıma ve gerçek–sanal konum
Konunun mantığı
Küresel aynada yansıtıcı yüzey bir kürenin iç parçasıysa çukur,dış parçasıysa tümsek diye adlandırılır. Tepe aynanın asal eksenle kesiştiği nokta;merkez ise yüzeyi oluşturan kürenin merkez noktasıdır,Rtepe–merkez uzaklığının büyüklüğüdür. Burada eksene yakın ve küçük açılı paraksiyal ışınlar seçilir. Bu yaklaşımda odak uzaklığının büyüklüğüR/2dir. Büyük açıklıkta bütün ışınların tek kusursuz odakta toplanacağını söylemeyiz;küresel sapınç bu dar modelin dışındadır.
Işık gerçek cisimden aynaya doğru gelir,yansıdıktan sonra geldiği taraftaki ortama geri yayılır;mercekteki gibi karşı tarafa geçmez. Çukur aynada eksene paralel gelen paraksiyal ışın,aynanın önündeki odaktan geçecek yönde yansır. Tümsek aynada yansıyan ışın dağılır;geri uzantısı arkadaki odaktan geliyormuş görünür. Küresel yüzeyde yerel normal merkez doğrultusudur;tepeye gelen ışın tepe normaline göre eş açıyla geri döner. İki çizgiyi kesiştirmekten önce gerçek ışının hangi yönde ilerlediğini oku.
Bu derste gerçek cisim ayna önünde ve cisim uzaklığıu>0. Çukur içinf=+R/2,tümsek içinf=−R/2seçilir. Görüntü uzaklığıvön tarafta gerçek ışın kesişmesi için pozitif,arkadaki uzantı kesişmesi için negatiftir. Yanal büyütmem=−v/u;yukarı pozitif cisim boyunahgöre görüntü boyumh. Paraksiyal bağıntı1/f=1/u+1/vbu kuralla kullanılır. Başka işaret geleneğinde işaretleri kopyalamayız;aynı eksenle tanımı ve denklemi birlikte kurarız.
Çukur aynada u>fise görüntü ön tarafta gerçek ve terstir;u=2fkonumunda aynı boyda,u>2fise küçük,f<u<2fise büyüktür. 0<u<fise gerçek yansıyanlar dağılır,arkadaki uzantılar düz/büyük/sanal görüntü verir. u=folduğunda bir cisim noktasından yansıyan ışınlar bu modelde paraleldir;sonlu bir görüntü konumu bulunmaz. Bu,sonlu bir yerde sonsuz büyük görüntü oluşması değildir. Bu cümleler gerçek cisimli tek ayna içindir;sanal cisimli çok optik elemanlı sistemlere genellenmez.
Tümsek içinf<0ve u>0olduğundan v=fu/(u−f)<0,0<m<1elde edilir;sonlu gerçek cismin görüntüsü arkada,tepeyle sanal odak arasında düz/küçüktür. Negatifvnegatif fiziksel yol almak veya bir ışının aynanın içinden geçmesi demek değildir;geri uzantının konumunu etiketler. Gerçek görüntü uygun düzlemde ışınların gerçek buluşmasıdır;sanalda aynı nokta yalnız uzantılarla bulunur. Aşağıdaki çizilmemiş ışın modelleri kâğıt üstü geometridir;gerçek ışık/ayna/cihaz/deney kurulumu yoktur. Mercek sayıları aynaya isim değiştirerek aktarılmamıştır.
Paraksiyal küresel aynada|f|=R/2;çukur f>0,tümsek f<0,gerçek cisim u>0. v>0önde gerçek,v<0arkada sanal;m=−v/u. Işınlar yansıyıp geri döner,arka tarafta yalnız uzantılar olabilir. Çukurda u=fiken sonlu görüntü yok.
Adım adım bir örnek
Kurmaca çukur ayna tepesi x=0,yansıtıcı tarafı solda;R=60cmvef=+30cm. Gerçek cismin tepesi(−90cm,+0,60cm). Gelen ışık sağa,tepe civarında yansıyanlar sola ilerliyor;aynı homojen ortam ve paraksiyal model. Görüntü noktası ve boy yönünü denklem/ışın geometrisiyle karşılaştırın.
İşaretli ayna hesabı
- u=90cm.1/v=1/30−1/90=1/45;v=+45cm. Bu işaret görüntünün ayna önünde olduğu anlamındadır.
- Koordinatta x=−45cm;m=−45/90=−1/2. Yükseklik−0,30cm.
- Sonuç solda gerçek,ters ve yarı boydur;mercekteki sağ gerçek görüntü kuralı buraya kopyalanmaz.
Sınır: Gerçek cisim,tek küresel ayna ve paraksiyal yaklaşım. Pozitifvburada sol ön konumu gösterir;pozitifxile aynı değildir.
Yansıyan iki ışının yönlü kesişmesi
- Eksene paralel gelen ışın(0,0,60)yakınında yansıyıp(−30,0)odağına gider;düzlemsel kesitte doğrusu y=0,60+x/50,gerçek yayılma sola.
- Tepeden yansıyan ışın tepe normaline göre simetrik döner;doğrusu y=x/150ve gerçek yayılma yine sola.
- x/150=0,60+x/50→x=−45,y=−0,30. İki gerçek sol yönlü ışın kesişir.
Sınır: Tepe düzlemi/yakın eksen çizgileri paraksiyal ideal temsildir. Gerçek küresel yüzeyin bütün açıklığı için tam ray-tracing yapılmış sayılmaz.
İki doğruyu sağ tarafa uzatabilmek,yansıyan ışığın sağa ilerlediğini gösterir mi? Gerçek kesişme ile uzantı ayrımı nerede kullanıldı?
Hatayı bul
“Tümsek aynada çizgiler arka tarafta buluşuyor;öyleyse ışık aynanın içinden geçip gerçek görüntü yapıyor.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Geri uzantıların kesişmesini gerçek ışığın aynanın arkasına ilerlemesi saymak.
Bu aynanın gerçek yansıyan ışınları ön ortama geri döner;arkaya uzatılan çizgiler sanal noktayı bulmak için geometrik araçtır. Arka noktanın çizimde görünmesi orada gerçek ışınların veya perde görüntüsünün bulunduğunu göstermez.
Çalışılmış çukur aynada cisim90cmden60cmmerkez konumuna alınsın;aynıR=60cm/paraksiyal koşullar sürsün. Görüntü ve yansıyan ışın yorumu nasıl değişir?
u=2f=60cm→v=60cm,m=−1. Görüntüx=−60cm,y=−0,60cm;önde gerçek,ters ve aynı boy. Çalışılmış yarı boy sonucu korunmaz. Bu görüntü gerçek sol yönlü yansıyan ışın kesişmesidir;arkaya uzantı görüntüsü değildir.
Dersin soruları
1Gerçek küçük cisim paraksiyal çukur aynanın tepe noktası ile odağı arasında,asal eksene yakın. Yansıyan gerçek ışınlar aynanın önünde birbirinden uzaklaşıyor;geriye uzantıları arkada kesişiyor. Görüntünün uygun sınıflaması hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Kurmaca tümsek ayna tepesi x=0,ön taraf x<0;R=36cm. Küçük gerçek cismin tepesi(−36cm,+0,90cm). Paraksiyal modelde iki yansıyan ışın sola ilerliyor;doğruları y=0,90−x/20ve y=x/40(cm birimleri). Bu doğruların sağdaki kesişmesi yalnız geri uzantıların kesişmesidir. Görüntü konumu/yüksekliği ve türü hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Tek çukur küresel aynadaR=50cm. Gerçek cisim tam odakta;homojen ortam ve paraksiyal model geçerli. Cismin bir noktasından yansıyan ışınlar için hangi ifade uygundur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Küresel yüzeyin iç yüzü yansıtıcı olan ayna A ile dış yüzü yansıtıcı olan ayna B’nin ikisinde de kürenin yarıçapı R=40 cm’dir. Paraksiyal modelde ve bu dersin işaret kuralıyla (fA ; fB) hangisidir?
2Çukur küresel aynada R=40 cm’dir. Gerçek küçük cisim ayna tepesinden 30 cm uzakta ve asal eksene yakındır. Paraksiyal modelde ve bu dersin işaret kuralıyla görüntü uzaklığı v ile yanal büyütme m hangisidir?
3Çukur küresel aynanın önünde, asal eksene yakın gerçek bir cisim var. Cismin ters ve 3 kat büyük görüntüsü, ayna tepesinden 90 cm uzaktaki bir ekranda net oluşuyor. Paraksiyal modelde aynanın odak uzaklığı kaç cm’dir?
4Paraksiyal küresel aynada gerçek cisim için üç öğrenci yorum yapıyor. Ali: “Çukur aynada v>0 ise görüntü aynanın arkasındadır ve gerçektir.” Ece: “Tümsek aynada v<0 çıkar; arkadaki bu kesişim noktasına perde konursa görüntü perdede yakalanır.” Can: “v<0 ise yansıyan ışınların yalnız geri uzantıları kesişir; görüntü sanaldır.” Ders kuralına göre hangi seçenek doğrudur?
5Çukur küresel aynada R=48 cm’dir. Asal eksene yakın, gerçek küçük bir cisim aynadan sırayla u1=60 cm, u2=48 cm ve u3=36 cm uzaklığa konuyor (paraksiyal model). Üç konumdaki görüntünün boyu ve yönü hangisidir?
6Çukur küresel aynada f=20 cm’dir. Gerçek küçük cisim ayna tepesinden sırayla u=25 cm, u=20 cm ve u=15 cm uzaklığa konuyor (paraksiyal model, bu dersin işaret kuralı). Üç konum için v değerleri hangisidir?
7Paraksiyal modelde tümsek küresel aynanın önüne gerçek bir cisim konuyor (u>0). Görüntü için hangi ifade uygundur?
8Küresel aynalardan A çukur (f=+30 cm), B tümsektir (f=−30 cm). Gerçek küçük cisim, her birinin tepesinden 20 cm uzaktadır (asal eksene yakın, paraksiyal model). Hangi seçenekte v doğru bulunmuş ve doğru yorumlanmıştır?
9Çukur küresel aynada R=80 cm’dir. Gerçek küçük cismin, ekranda yakalanabilen, ters ve cisimden büyük görüntüsü isteniyor (paraksiyal model). Cismin ayna tepesinden uzaklığı hangi aralıkta olmalıdır?
10Küresel bir aynanın tepesinden 30 cm uzakta gerçek küçük bir cisim var; yanal büyütme m=+1/2 ölçülüyor (paraksiyal model). Aynanın yarıçapı ve türü hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Tümsek aynada gerçek cisim için görüntü neden düz ve küçük çıkar?
f=−F,F>0,u>0alınca v=−Fu/(u+F);m=F/(u+F),yani0<m<1. Bu tek ayna/gerçek cisim koşulunun cebridir;sanal cisme genellenmez.
Küresel aynadakiR/2ve özel ışınlar için hangi model sınırı var?
Asal eksene yakın,küçük açılı paraksiyal yaklaşım. Geniş açıklıkta bütün ışınların tek kusursuz odağı olduğu söylenmez;Rmerkez uzaklığının büyüklüğü,merkez ise noktadır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.