hepnotKonum–zaman: grafiğin yüksekliği mi, eğimi mi?
Konunun mantığı
Bir konum–zaman grafiğinde yatay eksen zamanı, düşey eksen seçtiğimiz başlangıç noktasına göre konumu gösterir. Önce birimleri oku: saniye ve metre ise eğimin birimi metre/saniye olur. Grafiğin yüksekte olması cismin hızlı olduğu anlamına gelmez; yalnız koordinatının büyük olduğunu söyler. Hız için konumun ne kadar sürede değiştiğine bak.
İki zaman arasındaki ortalama hız, konum farkının zaman farkına bölümüdür: (son konum − ilk konum)/(son zaman − ilk zaman). Seçilen aralıkta grafik doğru parçasıysa bu eğim o parçadaki sabit hızı da verir. Eğri bir grafikte iki noktayı birleştiren doğrunun eğimi aralığın ortalamasıdır; her andaki hızın aynı olduğunu göstermez. Bu derste yalnız doğrusal parçalar üzerinde hesap yapıyoruz.
Konum artıyorsa seçilen pozitif yönde, azalıyorsa negatif yönde hareket vardır. Grafik yataysa konum değişmez; cisim o aralık boyunca durur. Negatif konum ile negatif hız farklıdır: başlangıç noktasının batısında bulunan bir cisim doğuya doğru hareket edebilir. Yönü belirleyen konumun işareti değil, değişimin işaretidir.
Örneğin doğuyu pozitif seçtiğimiz doğru üzerinde bir ölçüm arabası 2. saniyede −3 metrede, 6. saniyede +9 metrededir; arada konumu doğrusal değişir. Konum farkı 12 metre, süre 4 saniyedir. Hız +3 metre/saniye olur. Burada 9/6 yapmak, arabanın sıfırıncı saniyede başlangıç noktasında olduğunu kanıtsız varsaymak olur. İki uç noktanın hem konumunu hem zamanını çıkar.
Grafik yukarı çıkıp tekrar aynı konuma iniyorsa toplam yer değiştirme sıfır olabilir; yol ise gidiş ve dönüş uzunluklarının toplamıdır. Dolayısıyla ortalama hız sıfır olsa da ortalama sürat pozitif olabilir. Konum grafiğini yolun uzaydaki biçimi gibi okuma: aşağı eğimli bir çizgi, cismin bir yokuştan indiği anlamına gelmez.
Konum–zaman grafiğinde Δx/Δt, seçilen aralığın ortalama hızıdır; Δt>0. Doğrusal parçada hız sabittir. Artan/azalan/yatay parça sırasıyla pozitif hız/negatif hız/durma demektir. Konumun işareti yönü tek başına vermez. Eğim için iki konum ve iki zaman farkını kullan; yalnız grafik orijinden geçen uygun bir doğruysa x/t aynı sonucu verir.
Adım adım bir örnek
Doğunun pozitif olduğu bir doğru üzerinde ölçüm arabasının konumu 2. saniyede −3 m, 6. saniyede +9 m. Bu iki nokta arasındaki konum–zaman grafiği doğru parçasıdır. Bu aralıktaki hızını bul.
İki noktanın farkı
- Yer değiştirme: 9−(−3)=12 m, doğuya.
- Geçen süre: 6−2=4 s.
- Sabit hız: 12/4=3 m/s, doğuya.
Sınır: Sabit hız sonucu doğrusal parça koşuluna dayanır. Eğri bir parçada aynı işlem yalnız aralık ortalamasını verir.
Eşit zaman adımlarını izle
- Doğrusal değişimde 4 eşit saniye aralığı, toplam 12 m değişimi eşit paylaşır.
- Her saniyedeki konum artışı 12/4=3 m: t=2,3,4,5,6 için x=−3,0,3,6,9.
- Artış +3 m/s olduğundan hız doğuya 3 m/s.
Sınır: Eşit zaman adımlarında eşit değişim varsayımı doğrusal parçadan gelir; sadece iki ölçüm verilmesi aradaki hareketin sabit hızlı olduğunu kanıtlamaz.
Her iki yöntemde de başlangıç konumu neden sıfır alınmadı? Doğrusal parça bilgisi kaldırılırsa hangi sonuç hâlâ geçerlidir?
Hatayı bul
Grafik 6. saniyede 9 metreyi gösteriyor; hız 9/6=1,5 m/s olmalı.
İlk hatayı göster
İlk hata: Tek noktanın koordinatları, başlangıç koşulu kontrol edilmeden konum ve zaman farkı yerine kullanılmış.
Örnekte aralık (2,−3) ile (6,9) arasındadır. (9−(−3))/(6−2)=3 m/s. x/t her konum–zaman grafiği için geçerli bir kısayol değildir.
Örnekte bütün konum koordinatlarına +20 m ekleyip zamanları aynı bırakırsak hesaplanan hız değişir mi?
Hayır. Yeni konumlar 17 ve 29 m olur; fark yine 12 m, süre yine 4 s, hız yine +3 m/s. Yalnız koordinat başlangıcını değiştirdik. Bu, tüm koordinatlara aynı sabit eklenmesi içindir; zamanla değişen bir referans dönüşümü değildir.
Dersin soruları
1Doğu pozitif. Bir arabanın konum–zaman grafiği (t=0 s,x=−8 m) ile (t=5 s,x=12 m) arasında doğru parçası. Bu aralığın ortalama sürati ve ortalama hızı sırasıyla nedir?
Bu soruda hata mı var?2Bir cismin konum–zaman grafiği t=2 s ile t=6 s arasında x=6 m düzeyinde yatay. Yalnız bu aralık için ortalama sürati ve ortalama hızı sırasıyla nedir?
Bu soruda hata mı var?3Doğu pozitif. Konum–zaman grafiği sırasıyla (0 s,4 m), (3 s,16 m), (6 s,4 m) noktalarını doğru parçalarıyla birleştiriyor. Tüm aralığın ortalama sürati ve ortalama hızı sırasıyla nedir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Aynı eksenlerde (x metre, t saniye) iki cismin konum–zaman grafiği doğru parçasıdır. A cisminin grafiği (0 s; 50 m) ile (10 s; 60 m) noktalarından, B cisminin grafiği (0 s; 0 m) ile (10 s; 30 m) noktalarından geçmektedir. A ve B’nin hızları sırasıyla nedir?
2Doğu pozitif. Kurmaca bir cismin konum–zaman grafiği t = 2 s ile t = 8 s arasında doğru parçasıdır ve bu aralıktaki hızı +3 m/s’dir. t = 2 s’de konumu x = −5 m ise t = 8 s’de konumu kaç metredir?
3Doğu pozitif. Bir cismin konum–zaman grafiği (0 s; −2 m), (4 s; 6 m), (8 s; 6 m), (12 s; −10 m) noktalarını doğru parçalarıyla birleştirmektedir. 0–4 s, 4–8 s ve 8–12 s aralıklarındaki hızlar sırasıyla nedir?
4Doğu pozitif. Bir cismin konum–zaman grafiği (0 s; −20 m) ile (10 s; −5 m) noktaları arasında doğru parçasıdır. Bu 10 s için hangi ifade doğrudur?
5Doğu pozitif. Bir cismin konum–zaman grafiği (0 s; +10 m), (5 s; X) ve (10 s; +25 m) noktalarını doğru parçalarıyla birleştirmektedir; X, 25 m’den büyüktür. Bütün 10 s için ortalama sürat 4,5 m/s ise X kaç metredir?
6Doğu pozitif. Bir cismin konum–zaman grafiği (0 s; −6 m), (4 s; +6 m), (6 s; +6 m), (10 s; −2 m) noktalarını doğru parçalarıyla birleştirmektedir. Bütün 10 s için ortalama hız nedir?
7Doğu pozitif. Bir cismin konum–zaman grafiği (0 s; 40 m) ile (8 s; 0 m) noktaları arasında doğru parçasıdır. Bu 8 s için hangi ifade doğrudur?
8Aynı eksenlerde iki cismin konum–zaman grafiği doğru parçasıdır. A: (0 s; 0 m) ile (10 s; 30 m) noktalarından, B: (0 s; 40 m) ile (10 s; 70 m) noktalarından geçer. Hangi ifade doğrudur?
9Doğu pozitif. Kurmaca bir cisim t = 0 s’de x = +10 m konumundan doğuya hareket ediyor, en uzak noktada hemen dönüyor ve aynı yoldan geri gelerek t = 12 s’de yine x = +10 m konumunda bulunuyor. Bu 12 s için ortalama sürat 5 m/s ise en uzak konum kaç metredir?
10Doğu pozitif. Bir cismin konum–zaman grafiği (0 s; 4 m), (2 s; 16 m), (8 s; 28 m) noktalarını doğru parçalarıyla birleştirmektedir. Hangi işlem 0–8 s aralığının ortalama hızını verir?
Aklında kaldı mı?
Konum–zaman grafiğinin yüksekliği ile eğimi neyi söyler?
Yükseklik konumu; iki nokta arasındaki eğim o aralığın ortalama hızını verir. Doğrusal parçada bu hız sabittir.
Negatif konumda bulunan bir cisim pozitif hızla hareket edebilir mi?
Evet. Örneğin x=−8 m’den x=−4 m’ye giderken konumu artar. Konumun işareti bulunduğu yeri, değişimin işareti hareket yönünü belirtir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.