hepnotÇembersel hareket ve kütleçekimi: radyal bileşke, uzaklık ve yörünge
Konunun mantığı
Düzgün çembersel harekette sürat sabit olsa da hız vektörünün yönü değişir; ivme sıfır değildir. Eylemsiz çerçevede radyal ivme merkeze doğru ar=v²/r=ω²r; v=ωr olur. Teğetsel ivme düzgün harekette sıfırdır. Bu, yalnız hareketin geometrisiyle Newton yasasını ilişkilendiren modeldir; sürat değişirse teğetsel bileşen ayrıca ele alınır.
Merkezcil kuvvet yeni bir etkileşim türü değildir; mevcut kuvvetlerin merkeze doğru net bileşeninin adıdır. İç yön pozitif alınırsa ΣFr=mv²/r yazılır; iç/dış yönlü kuvvetler işaretle birleştirilir. İp gerilimi, kütleçekim veya başka etkileşimler bu bileşkeyi sağlayabilir. Mevcut kuvvetlere ayrıca mv²/r büyüklüğünde ikinci bir kuvvet eklemek aynı etkiyi iki kez sayar. Burada dönen referans sistemlerinin görünür kuvvetleri kullanılmaz.
Küresel simetrik kütlenin dışındaki Newtoncu modelde çekim alanı büyüklüğü g(r)=GM/r² ve yön merkezedir; r merkezden ölçülür. Yüzeyden yükseklik h ise r=R+h olur, yalnız h kullanılmaz. Yörüngede destek kuvveti hissedilmemesi kütleçekim alanının yokluğu değildir. Potansiyel enerji için U(sonsuz)=0 seçilirse U=−GMm/r; negatif enerji değeri negatif alan büyüklüğü anlamına gelmez.
Merkez kütlesi M’ye göre m çok küçük, diğer çekimler ve direnç ihmal edilmişse merkez yaklaşık sabit alınabilir. Dairesel yörüngede GMm/r²=mv²/r’den v=√(GM/r), T=2π√(r³/GM) bulunur. Aynı merkez için daha büyük dairesel r, daha küçük sürat ve daha uzun periyot verir. r aynı anda yüzey yüksekliği değildir; bu formüller her eliptik yörüngenin her noktasına dairesel sürat diye uygulanmaz.
Kepler’in elips modelinde merkez etkisi odakla ilişkilendirilir; yörüngenin geometrik merkeziyle odak aynı olmak zorunda değildir. Tam iki cisim yaklaşımında her iki cisim ortak kütle merkezi çevresinde hareket eder; yalnız m≪M olduğunda ağır cismi yaklaşık sabit sayarız. Kütleler karşılaştırılabilir büyüklükteyse küçük cismin tek başına sabit merkez çevresinde döndüğü basit yaklaşım koşulsuz kullanılmaz; ortak kütle merkezi ayrıca dikkate alınır. Bu giriş bütün Kepler uygulamaları, açısal momentum ve enerji-yörünge türlerini tamamlamaz.
Radyal ivme mevcut net kuvvetten doğar; yeni ayrı kuvvet eklenmez. Çekimde r merkezden ölçülür. Hafif uydu-dairesel yörünge formülleri ile tam iki cisim/elips modeli ayrılır.
Adım adım bir örnek
Kurmaca eylemsiz yatay modelde2 kg parçacık3 m yarıçaplı çemberde6 m/s sabit süratle gidiyor. Düşey kuvvetler dengeli ve incelenen yatay net kuvvet radyal. Gerekli net radyal kuvvet bulunacak; gerçek düzenek yapımı değildir.
Süratten ivmeye ve kuvvete
- ar=v²/r=36/3=12 m/s² içe.
- Fr,net=m ar=2·12=24 N içe.
- Bu net değer mevcut yatay kuvvetlerin bileşkesi olmalıdır; ayrıca yeni kuvvet değildir.
Sınır: Kuvveti hangi etkileşimin sağladığı verilmediği için gerilme/sürtünme gibi tek etkileşim adı kesinleştirilmez.
Açısal hız temsili
- ω=v/r=6/3=2 rad/s.
- ar=ω²r=4·3=12 m/s².
- Fr,net=mω²r=24 N içe.
Sınır: v=ωr ve düzgün hareket koşuluyla aynı modelin ikinci hesabıdır; ayrı deneysel doğrulama veya tüm hareketlerin ispatı değildir.
Sürat zamana göre artsaydı yalnız radyal bileşke toplam ivmenin tamamını verir miydi?
Hatayı bul
“Uydu yörüngede ağırlıksız göründüğüne göre gezegenin çekim alanı o noktada sıfırdır.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Destek kuvvetinin yokluğunu kütleçekim kuvvetinin/alanının yokluğuyla özdeşleştirmektir.
İdeal yörüngede uydu ve içindekiler serbest düşüşte olabilir; kütleçekim radyal ivmeyi sağlayabilir. Destek hissi, alan büyüklüğü ve net ivme farklı niceliklerdir; yörünge kendiliğinden sıfır alan demek değildir.
Çalışılmış çember örneğinde sürat artıyor olsaydı ne değişirdi?
Aynı andaki radyal ivme yine v²/r ile hesaplanır; ayrıca sürat değişiminden teğetsel ivme olurdu. Toplam ivme bu iki bileşenin vektörel birleşimidir. Net kuvvetin yalnız içe olması artık yeterli değildir; artış hızı verilmeden toplam büyüklük tekleşmez.
Dersin soruları
1Eylemsiz yatay çerçevede3 kg parçacık2 m yarıçaplı çemberde sabit süratle hareket ediyor. O anda bütün radyal etkileşimler merkeze doğru28 N ve merkezden dışa4 N. Teğetsel net kuvvet sıfır, düşey kuvvetler dengeli. Sürat ve merkezcil kuvvetin yorumlanması hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Aynı küresel M kütlesi çevresinde çok hafif iki uydu ayrı dairesel yörüngelerde bulunuyor. Merkezden yarıçaplar r1=2R,r2=8R. m≪M, merkez yaklaşık sabit; başka çekim ve direnç yok. Uydular aynı yörüngede birbirini izlemiyor, ayrı sabit modeller karşılaştırılıyor. (v2/v1,T2/T1) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Küresel ve dönmeyen ideal gezegenin yarıçapıR, kütlesiM; yüzey alanı büyüklüğü g0=GM/R². Küçük m parçacığı yüzeyden h=2R yüksekte, gezegen dışında. Başka kaynak yok; U(sonsuz)=0 referansı kullanılıyor. Bu konumda alan büyüklüğü ve potansiyel enerji hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca sürtünmesiz yatay masada 0,20 kg’lık halka, 0,50 m yarıçaplı çemberde 6,0 rad/s sabit açısal hızla dönüyor. Halkaya radyal doğrultuda yalnız içe yönlü iki kuvvet etki ediyor: ip gerilimi T ve 1,2 N’luk bir yay kuvveti. Düşey kuvvetler dengeli. T kaç N’dur?
2Aynı küresel M kütlesi çevresinde m≪M olan iki hafif uydu dairesel yörüngelerde; merkez yaklaşık sabit, başka çekim ve direnç yok. B uydusunun periyodu A uydusunun periyodunun 27 katıdır. (rB/rA, vB/vA) hangisidir?
3Küresel ve dönmeyen ideal bir gezegenin yarıçapı R, yüzeydeki alan büyüklüğü g0. Gezegenin dışındaki bir noktada alan büyüklüğü g0/16 ölçülüyor. Bu nokta gezegenin yüzeyinden kaç R yüksektedir?
4Küresel ve dönmeyen ideal gezegenin yarıçapı R, kütlesi M. Küçük m parçacığı yüzeyden h=R yüksekteki bir noktadan h=3R yüksekteki bir noktaya taşınıyor; iki nokta da gezegenin dışında. U(sonsuz)=0 referansıyla U(son)−U(ilk) hangisidir?
5Kurmaca dönmeyen küresel gezegende GM=4,0×10¹⁴ m³/s², R=4,0×10⁶ m. Çok hafif bir uydu yüzeyden h=2,0×10⁶ m yükseklikteki dairesel yörüngede; başka çekim ve direnç yok. Periyot yaklaşık kaç saniyedir?
6Düzgün çembersel harekette açısal hız ω sabit tutulup yarıçap iki katına çıkarılıyor. (v₂/v₁, ar₂/ar₁) hangisidir?
7Gezegen çevresinde yalnız gezegenin çekimi etkisinde dairesel yörüngede hareket eden hafif bir uydu için eylemsiz çerçevede radyal doğrultudaki kuvvet sayımı hangisidir?
8Dairesel yörüngedeki istasyonun içinde bırakılan bir alet, istasyona göre havada hareketsiz kalıyor. Hangi yorum uygundur?
9Dönmeyen ideal gezegenin yüzeyindeki alan büyüklüğü g0. m kütleli özdeş iki cisimden A, yaylı kantara asılıp yüzeyde hareketsiz tutuluyor. B ise merkezden r=2R uzaklıktaki dairesel yörüngede serbestçe dolanan kapsülün tavanına bağlı aynı kantara asılıyor. (A’nın kantar okuması; B’nin kantar okuması; B konumundaki alan büyüklüğü) sırası hangisidir?
10Düzgün çembersel hareket yapan bir parçacığın çizgisel sürati 6,0 m/s, açısal hızı 1,5 rad/s. Parçacığın anlık ivmesi hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Merkezcil kuvvet, gerilme ve çekimden başka yeni bir etkileşim midir?
Hayır. Eylemsiz çerçevede mevcut kuvvetlerin radyal net bileşkesi için kullanılan addır; ΣFr=mv²/r. Ayrı kuvvet olarak tekrar eklenmez.
Yüzeyden h yüksekte çekim hesabında uzaklık hangi noktadan ölçülür?
Küresel kütlenin dışındaki modelde merkezden r=R+h ölçülür. U=−GMm/r için de aynı uzaklık ve belirtilmiş enerji referansı kullanılır; yalnız h yazılmaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.