hepnotAyrık pozitif kütlelerde kütle merkezi
Konunun mantığı
Noktasal modelde mi>0 kütleleri aynı referans sisteminde xi konumlarında olsun. ToplamM=Σmi>0 ve kütle merkezi xKM=Σmixi/M olarak tanımlanır. Her konumun etkisi kendi kütlesiyle ağırlıklandırılır; iki noktanın geometrik ortası yalnız uygun eşit kütle durumunda çıkar. Konumu0olan kütlenin paya katkısı0olabilir ama toplamMden çıkarılmaz. Kütle birimi ortak seçilir; paykg·m, paydakg ise sonuçm olur. Merkez bir kütle değil konumdur; bütün kütlenin orada gerçekten yığılmış olması gerekmez.
İki veya üç boyutta aynı ağırlıklı işlem her bileşene ayrı uygulanır: xKM=Σmixi/M,yKM=Σmiyi/M ve gerekirse z bileşeni. xi ve yi aynı cismin koordinat çiftinden alınır; bir eksendeki negatif işaret ötekine aktarılmaz. Pozitif ağırlıkların toplamı1olanλi=mi/M ile rKM=Σλiri yazımı, merkezin noktaların dışbükey zarfında kalmasını açıklar. Bu, cismin bütün boşluklarını doldurmaz; birkaç ayrık kütlenin arasında maddesiz noktada merkez bulunabilir. Eşit olmayan kütlelerde yalnız çizimin simetrisine bakarak geometrik orta seçilmez.
Bir alt grubun toplam kütlesiMg ve merkezi rg biliniyorsa Σaltmiri=Mgrg olduğundan grubu bu konumdaki tekMg ile hesapta temsil edebilirsin. Bu, hesap kolaylığıdır; grubun bütün biçimi/dönme eylemsizliği/temas özellikleri tek noktayla eşitlenmez. İki kütle için merkezden uzaklıklar d1,d2 ise m1d1=m2d2; ağır olana uzaklık daha küçüktür. Koordinat toplamıyla bu uzaklık ilişkisi aynı ağırlıklandırmanın iki temsilidir. Merkez bulmak için gerçek bir destek veya yerçekimi bulunması şart değildir.
Toplam kütle sabit ve yalnız bir m kütlesi eski rden yeni r+Δrye taşınırsa MΔrKM=mΔr, yaniΔrKM=(m/M)Δr olur. Başka kütleler de taşınıyorsa değişimler ağırlıklarıyla toplanır. Kütle eklenip çıkarıldığındaMde değişeceği için bu sabitM kısayolunu koşulsuz kullanmayız; yeni dağılım baştan yazılır. Bütün sisteme aynı konum kaydırması eklenirse merkez de aynı miktar kayar; referans seçimi fiziksel dağılımı değiştirmez. Bu ders taşıma işleminin dinamiğini veya gerçek yük hareket ettirme yöntemini anlatmaz.
Aynı sabit yerçekimi ivmesi vektörü bütün parçalarda geçerliyse ağırlıkların momenti ortakg ile çarpılır ve ağırlık merkezi kütle merkeziyle çakışır. g konuma göre önemli değişiyorsa aynı sonuç otomatik değildir. Ağırlığın etki çizgisini belirlemek, bütün dış kuvvetleri veya destek tepkilerini bulmuş olmak da değildir. Başlangıçta durgun rijit sistemin statik dengesi için dış kuvvet ve dış tork toplamları ayrıca sıfır olmalıdır; kütle merkezi orijinde olan sistem dış bir kuvvetle ivmelenebilir. Buradaki modeller yalnız eğitim hesabıdır; yapı, denge güvenliği veya yük kaldırma protokolü değildir.
rKM=Σmiri/Σmi,mi>0; bileşenler ayrı. Geometrik orta genel kural değil. SabitMde tek m taşınırsaΔrKM=(m/M)Δr. Homojen g altında ağırlık merkezi aynı konumda; bu tek başına statik denge kanıtı değildir.
Adım adım bir örnek
Özgün noktasal modelde2kg kütle(−3;0)m,3kg kütle(2;4)m,1kg kütle(0;−2)m konumlarında. Başka kütle yok. Sistemin ortak merkezini iki temsille bulun; dış kuvvet veya denge durumu verilmemiştir.
İki bileşende ağırlıklı toplam
- M=2+3+1=6kg. x payı2·(−3)+3·2+1·0=0kg·m.
- y payı2·0+3·4+1·(−2)=10kg·m.
- Merkez(0;5/3)m. Bu noktalardan birinde kütle bulunması gerekmez.
Sınır: Negatif koordinatlar korunur; sıfır konumlu kütle toplamMden çıkarılmaz.
Alt grup merkezlerini birleştirme
- 2kg ve1kg alt grubunun toplamı3kg; merkezi((−6+0)/3;(0−2)/3)=(−2;−2/3)m.
- Bu3kg alt grup ile(2;4)mdeki3kg eşit kütlelerdir; merkezleri geometrik ortalanabilir.
- ((-2+2)/2;(-2/3+4)/2)=(0;5/3)m. Eşitlik burada grup kütleleri eşit olduğu için kullanıldı.
Sınır: Alt grupların merkezini kütleleri eşit olmadan yalın ortalamak genel yöntem değildir; gruplama biçim/denge eşdeğerliği değildir.
İlk iki kütleyi farklı gruplayınca ortak merkez değişir mi? Merkezin(0;5/3)olması sistemin durgun olduğunu gösterir mi?
Hatayı bul
“İki grubun merkezini buldum; grup kütleleri2kg ve8kg olsa da konumlarının tam ortasını alırım. Bulduğum merkez duruyorsa bütün cisim zaten statik dengededir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Eşit olmayan grup kütlelerini eşit ağırlıklarla geometrik ortalamak.
Grup merkezi(2r1+8r2)/10dur. Bunun bulunması veya tek anda hızının0olması bütün dönme/dış kuvvet koşullarını belirlemez; statik dengede kuvvet ve torklar ayrıca kontrol edilir.
Çalışılmış örnekte yalnız1kg kütle(0;−2)mden(6;−2)mye taşınırsa yeni merkez nedir? Toplam kütle sabitken hangi kısa kontrol yapılır?
ΔxKM=(1/6)·6=1m,ΔyKM=0. Yeni merkez(1;5/3)m olur; bütün kütleler taşınmadığından merkez6m gitmez. Yeni ağırlıklı toplamla(6/6;10/6)aynı konum bulunur.
Dersin soruları
1Özgün düzlem modelinde1kg(−4;2)mde,3kg(2;−2)mde,2kg(0;5)mde; başka kütle yok. Ortak kütle merkezi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Bir boyutta2kg noktasal kütle başlangıçta x=−1mde. Geri kalan sabit grubun toplamı8kg ve merkezi x=2m; başka kütle yok. Yalnız2kg kütle x=5mye taşınıyor; toplam kütle değişmiyor. (İlk merkez;son merkez) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Yalnız iki eşit pozitif noktasal kütle(−3;1)m ve(3;−1)m konumlarında kayıtlıdır. Aradaki olası bağlantının kütlesi ihmal; bu kayıtta dış kuvvetler, hızlar ve destekler verilmemiştir. Hangisi bu veriden çıkar?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir boyutta üç noktasal kütle: 2 kg x = 0 m’de, 3 kg x = 6 m’de, 5 kg x = 10 m’dedir; başka kütle yok. Ortak kütle merkezi hangi konumdadır?
2Düzlemde 1 kg (4; −2) m’de, 3 kg (−2; 1) m’de, 2 kg (1; −4) m’de; başka kütle yok. Ortak kütle merkezi hangisidir?
3Bir doğru üzerinde 1 kg ve 5 kg’lık iki noktasal kütle birbirinden 12 m uzaklıktadır; başka kütle yok. Kütle merkezinin 5 kg’lık ve 1 kg’lık kütleye uzaklıkları (d₅; d₁) hangisidir?
4Bir doğru üzerinde 1 kg x = 0 m’de ve 3 kg x = 8 m’de bir alt grup oluşturuyor; ayrıca 1 kg’lık bir kütle x = 2 m’dedir. Alt grubu tek bir noktada temsil edip tüm sistemin merkezini bulursan hangi konum çıkar?
5Toplam kütlesi 10 kg olan bir sistemde yalnız 2 kg’lık parça bir doğru boyunca taşınıyor; başka parça kıpırdamıyor ve toplam kütle değişmiyor. Kütle merkezi 0,4 m kaydığına göre 2 kg’lık parça kaç m taşınmıştır?
6Bir doğru üzerinde 2 kg x = 0 m’de, 3 kg x = 10 m’de, 5 kg x = 20 m’dedir; kütle merkezi x = 13 m’dir. 5 kg’lık kütle sistemden tamamen çıkarılırsa kalan iki kütlenin merkezi hangi konumda olur?
7Ayrık pozitif noktasal kütlelerden oluşan bir sistem, her parçada aynı olan sabit bir g altındadır (homojen g). Ağırlık merkezi için hangisi uygundur?
8Bir doğru üzerinde 500 g’lık kütle x = 2 m’de, 1,5 kg’lık kütle x = 6 m’dedir; başka kütle yok. Ortak kütle merkezi hangi konumdadır?
9Bir sistem yalnız 3 kg ve 7 kg’lık iki parçadan oluşuyor. Ayrı iki denemede önce yalnız 7 kg’lık, sonra yalnız 3 kg’lık parça aynı yönde 4 m taşınıyor; öteki parça kıpırdamıyor. Kütle merkezinin kaymaları hangisidir?
10Düzlemde 2 kg (−4; 0) m’de, 3 kg (2; 4) m’de ve 5000 g’lık bir kütle (a; −2) m’dedir; başka kütle yok. Merkezin x koordinatı 0 olduğuna göre a kaç m’dir?
Aklında kaldı mı?
Konumu0olan bir kütle merkez hesabında tamamen atılır mı?
Hayır. Kendi eksen payına0katkı yapar ama toplam kütlenin paydasında kalır; diğer eksendeki konumu da ayrıca etkili olabilir.
Kütle merkezi ile ağırlık merkezi hangi yerçekimi koşulunda aynı olur; bu dengeyi kanıtlar mı?
Bütün parçalarda aynı sabit gvektörü varsa ağırlık momentindeki ortakg sadeleşir. Yalnız bu merkez konumu dış kuvvet/torkların denge koşullarını kanıtlamaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.