hepnotHarita projeksiyonunda bozulma: hangi özellik, nerede korunuyor?
Konunun mantığı
Dünya yüzeyini bu girişte bir küre olarak modelleyelim. Harita projeksiyonu, yüzey konumlarını düzlemdeki konumlara matematiksel bir kuralla aktarır. Geniş bir küresel bölgenin düzlem haritasında bütün alanları, açıları ve bütün nokta çiftlerinin uzaklıklarını aynı anda eksiksiz koruyan bir çözüm beklenmez. Amaç yalnız “en güzel görünen” haritayı seçmek değildir; ölçülecek özelliğe ve gösterilen bölgeye uygun bozulma tercihini anlamaktır. Yerel bir plan hesabında kullanılan tek sabit ölçek yaklaşımı büyük bölgeye kendiliğinden taşınamaz.
Eş alanlı projeksiyonda alan oranları ortak küçültme çarpanı altında korunur. Yüzeyde iki bölgenin alanı 2:1 ise aynı eş alanlı haritada karşılıkları da 2:1 olur; bu, her şeklin aynı biçimde kalması değildir. Bir bölge uzayıp başka yönde daralabilirken toplam alanı uygun oranda korunabilir. Bu nedenle eş alanlı etiketi, bütün kenar uzunluklarının veya her yöndeki yerel ölçeğin sabit kaldığını söylemez. Bölge alanlarını kıyaslamakla sınır biçimini ve yol mesafesini incelemek ayrı amaçlardır.
Konform, yani açı koruyan projeksiyon, uygun düzenli noktalarda çok küçük çevrede açı ve yerel biçim ilişkisini korur. Aynı noktadaki çok küçük doğrultuların ölçeği birbirine eşit olabilirken başka noktada bu ortak ölçek değişebilir. Dolayısıyla çok küçük yerel biçimin korunması bütün büyük bölgelerin alanı ve uzaklığı doğru demek değildir; büyük bir şeklin bütünü de bozulabilir. Bu tanımda “yerel” sözcüğünü atlamak, açı korumayı küreyi hiç bozmadan düzleştirme sanmaya yol açar.
Uzaklık koruma iddiasının hangi çiftler veya çizgiler için geçerli olduğu yazılmalıdır. Merkezden eş uzaklık özelliği olan azimutal eş uzaklıklı bir modelde merkez O ile başka noktalar arasındaki yüzey uzaklıkları ortak harita ölçeğiyle doğru aktarılır. Bundan merkez dışındaki A ile B arasındaki uzaklığın da her zaman doğru olduğu çıkmaz. Aynı merkez uzaklığı, O çevresindeki her dairenin çevresini ve alanını da otomatik korumaz. Korunmayan uzaklığın her özel çiftte mutlaka yanlış çıkması da gerekmez; verilen garanti yalnız belirtilen çiftler içindir.
Silindirik, konik ve düzlemsel adları yardımcı yüzey ailesini; eş alanlı, konform ve eş uzaklıklı adları ise koruma ölçütünü anlatır. Bunlar aynı sınıflama ekseni değildir. Örneğin Albers eş alanlı konik ve Lambert konform konik iki ayrı modeldir; ikisinin konik olması alan ve açı özelliklerini özdeş yapmaz. Belirli standart çizgilerde bozulma azalabilir veya belirli ölçüt için ölçek doğru olabilir; yönelim ve parametre seçimi önemlidir. Okulun sade normal yerleşimli silindir–koni–düzlem çizimleri, bütün modellerin her enlem ve her yönde aynı özelliği koruduğu yasası değildir. Burada seçilmiş ölçütler öğretiliyor; tüm projeksiyon türleri, formülleri veya yazılım kullanımı tamamlanmıyor.
Eş alan alan oranını, konform düzenli noktalarda yerel açıyı/biçimi, merkezden eş uzaklıklı model belirtilen merkez uzaklıklarını korur. Biri diğerlerinin garantisi değildir. Konik/silindirik/düzlemsel aile adı koruma ölçütü yerine geçmez.
Adım adım bir örnek
Özgün kurmaca çalışma, yüzeyde alanları 720 ve 360 km² olan iki bölgenin alan oranını haritada karşılaştırmak istiyor. Üç modelin teknik kartı açık verilmiştir: A eş alanlıdır; bu iki bölge A’da 12 ve 6 cm² ölçülmüştür. B yerel açı korur fakat eş alan garantisi yoktur. C belirlenen O merkezinden uzaklıkları korur fakat genel alan koruma garantisi yoktur. A’daki uzun kenarlar ve bölge şekilleri ölçülmemiştir. Hangi kart doğrudan bu amaçla uyumludur ve A’nın alan verisinden ne eklenemez?
Amaç–korunan özellik eşleştirmesi
- Amaç iki bölgenin alan oranıdır; doğrudan ilgili garanti A’nın eş alan özelliğidir.
- 720/360=2 ve 12/6=2; verilen özgün ölçümler bu garantiyle uyumludur.
- B ve C’nin açıklanan başka amaçlara ilişkin garantileri tek başına alan koruma garantisi yerine geçmez; A’dan da eş şekil veya bütün uzaklıkların doğruluğu çıkarılmaz.
Sınır: Bu iki ölçüm tek başına A’nın bütün yüzeyde eş alanlı olduğunun ispatı değildir; eş alan özelliği teknik kartta model varsayımı olarak verilmiştir.
Ek sonucu karşıörnek düşüncesiyle sınama
- Aynı alanın farklı biçimlerde bulunabileceğini düşün: uygun ölçekte eş alanlı iki düzlemsel parça biri uzun-dar, diğeri daha toplu olabilir. Alan eşitliği tek başına kenar oranını sabitlemez.
- Bu basit alan–biçim ayrımı, bir projeksiyonun küresel formülünü kurmaz; yalnız alan verisinden şekil garantisi çıkarma hatasını görünür kılar.
- B için yerel açı veya C için merkez uzaklığı araştırılacaksa bunlar ayrı ölçüt ve ayrı verilerle değerlendirilir.
Sınır: Düzlemsel düşünce tanığı gerçek bir küresel projeksiyon üretimi veya tüm harita özelliklerinin sayısal doğrulaması değildir.
Amaç alan oranından O merkezine yüzey uzaklıklarını karşılaştırmaya dönse hangi teknik garanti önem kazanır?
Hatayı bul
“Bu harita konik. O hâlde hem alanı hem bütün açıları hem her iki yer arasındaki uzaklığı doğru verir; aile adı ölçüm için yeterlidir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Yardımcı yüzey ailesinin adını birbirinden farklı bütün koruma ölçütlerinin garantisi saymasıdır.
Modelin açık teknik özelliği, parametreleri ve korunmanın geçerli olduğu nokta/çizgiler gerekir. Aynı konik ailede eş alanlı ve konform ayrı modeller bulunabilir; merkez uzaklığı koruma da bütün çiftlerin uzaklığı değildir.
Çalışılmış alan karşılaştırması yerine O merkezinden iki noktaya yüzey uzaklıkları araştırılıyor. C modeli O’dan eş uzaklık garantisi taşıyor; aynı C haritasında iki merkez dışı noktanın arası da cetvelle ölçülüyor. Yeni amaçta ne değişir?
O ile noktalar arasındaki uzaklıklar için C’nin garantisi doğrudan ilgili olur. İki merkez dışı noktanın cetvel ölçümünün doğru yüzey uzaklığına karşılık geldiği ise bu garantiden çıkmaz; ayrıca koşul veya uygun hesap gerekir. Amaç değişikliği A’nın alan özelliğini yok etmez, yalnız hangi garantiye ihtiyaç duyulduğunu değiştirir.
Dersin soruları
1Özgün kurmaca teknik kartta K projeksiyonunun eş alanlı olduğu verilmiştir. Yüzeyde iki bölgenin alanı 900 ve 300 km² dir. K haritasında bu bölgeler sırasıyla 15 ve 5 cm² ölçülüyor. Bölge sınır uzunlukları ve açıları verilmemiştir. Hangi yorum bu kayıtla desteklenir?
Bu soruda hata mı var?2Birincil teknik tanımları bu soru için veri olarak alınan iki kart var: Albers eş alanlı konik; Lambert konform konik. İkisi için de bütün nokta çiftlerinin uzaklığını koruma garantisi verilmemiştir. Amaç bir haritada bölge alanlarını, diğerinde uygun düzenli noktalardaki çok küçük açı ilişkilerini incelemektir. En uygun eşleştirme ve gerekçe hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Kurmaca harita merkez O’dan eş uzaklıklı bir projeksiyon kullanıyor: O ile her nokta arasındaki yüzey uzaklığı, verilen nominal küçültme ölçeğiyle doğru aktarılıyor. Ölçekte 1 cm=80 km. Haritada OA=2 cm, OB=3 cm, AB=2,5 cm ölçülüyor. A ve B merkez dışındadır; özel olarak aynı merkez doğrusu üzerinde oldukları veya AB için başka uzaklık koruma koşulu verilmemiştir. Hangi uzaklık kararı garantilidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Özgün kurmaca Z projeksiyonunun teknik kartında eş alanlı olduğu yazılıdır. Yüzeyde dairesel Göl X’in alanı 200 km², kare biçimli Ova Y’nin alanı 600 km²’dir. Z haritasında X, uzun ekseni kısa ekseninin iki katı olan bir elips olarak ve 4 cm² alanla görünüyor. Y’nin haritadaki biçimi ve ölçüsü verilmemiştir. Bu kayıtla hangi yorum desteklenir?
2Özgün Q projeksiyonunun teknik kartında konform (açı koruyan) olduğu yazılıdır. Yüzeyde P ve R noktalarında yarıçapı 1 km olan ikişer küçük dairesel çukur vardır. Q haritasında P’deki çukur 2 mm yarıçaplı, R’deki çukur 5 mm yarıçaplı bir daire olarak görünüyor. Bu kayıttan hangi sonuç çıkarılır?
3Özgün bir harita, O merkezinden eş uzaklıklı (azimutal eş uzaklıklı) bir modeldir; O’dan her noktaya olan yüzey uzaklıkları ortak ölçekle doğru aktarılır (1 cm = 100 km). Yüzeyde O merkezli, O’ya 600 km uzaklıkta bir çember vardır. Haritada bu çemberin yarıçapı 6 cm ölçülüyor. Çemberin haritadaki çevresi ve çemberin içinde kalan dairenin haritadaki alanı için ek bir koruma kaydı yoktur. Hangi yorum bu kayıtla desteklenir?
4Özgün dört teknik kart: A silindirik ve eş alanlıdır. B silindirik ve konformdur. C konik ve eş alanlıdır. D konik ve konformdur. Hiçbir kartta uzaklık koruma garantisi verilmemiştir. Kartlardan hangi çift, alan oranı koruma garantisi bakımından ortaktır?
5Özgün üç teknik kart: K1 eş alanlıdır. K2 yerel açıyı korur (konform). K3, O merkezinden eş uzaklıklıdır: O ile her nokta arasındaki yüzey uzaklığı ortak ölçekle doğru aktarılır; başka uzaklık koruma garantisi yoktur. Üç amaç: (a) iki bölgenin yüzey alan oranını karşılaştırmak, (b) O’daki istasyondan bir kente yüzey uzaklığını bulmak, (c) O dışındaki iki kent arasındaki yüzey uzaklığını doğrudan garantiyle bulmak. Hangi eşleştirme kartların verdiği garantilerle uyumludur?
6Özgün iki harita aynı bölgeyi gösterir. E haritası eş alanlıdır ve her yerde 1 cm² = 300 km² yüzey alanını gösterir. K haritası konformdur. Bölge E’de 6 cm², K’de 9 cm² görünür. K haritasının başka bir bölgesinde 1 cm² = 150 km² olarak ölçülmüştür. Hangi yorum bu kayıtlarla uyumludur?
7Bir okul ödevinde kasaba planında 1 cm = 500 m ölçeğiyle yapılan hesap, aynı yaklaşımla bir dünya haritasına taşınıyor. Dünya haritası özgün bir projeksiyonla basılmıştır; teknik kartında yalnız “eş alanlı” yazmaktadır ve kenarında 1 cm = 1000 km ölçek yazısı vardır. Öğrenci dünya haritasındaki iki kıta arasında cetvelle 5 cm ölçüyor ve kenardaki 1 cm = 1000 km yazısıyla “5000 km” diyor. Bu işlem için hangisi doğrudur?
8Özgün konform bir projeksiyonun teknik kartı: çok küçük çevrede açı ve yerel biçim ilişkisi korunur; ortak yerel ölçek noktadan noktaya değişebilir. Haritada çapı birkaç km olan küçük bir ada yüzeydeki biçimine benzer görünür. Aynı haritada bir kıtanın bütün sınır çizgisi ise yüzeydeki sınır biçiminden farklı bir şekle dönüşmüştür. Bu iki gözlemden hangi yorum savunulur?
9Özgün iki teknik kart aynı adı taşır: “Albers tipi eş alanlı konik”. Kart 1 ile Kart 2’nin parametreleri (standart çizgileri) farklıdır. İki kartta da alan koruma özelliği yazılıdır; ölçek bilgisi yalnız standart çizgilerde belirtilmiştir. Haritacı, 55° kuzeydeki bir bölgenin yerel ölçeğini iki haritada da aynı kabul ederek 1 cm = 80 km yazıyor. Hangi yorum desteklenir?
10Özgün Z eş alanlı haritasında A ve B illerinin kâğıt alanları eşittir (her biri 4 cm²). A’nın sınır çizgisi haritada 8 cm, B’nin sınır çizgisi 12 cm ölçülüyor. Yüzeydeki sınır uzunlukları ve açıları verilmemiştir. A ve B illeri için hangi yorum desteklenir?
Aklında kaldı mı?
Eş alanlı haritada aynı alanın aynı şekil olması gerekir mi?
Hayır. Ortak küçültme altında alan oranı korunur; uzama ve daralmayla biçim değişebilir. Kenar uzunluğu, yerel açı ve her doğrultuda sabit ölçek ayrıca garanti edilmez.
Konform ile merkezden eş uzaklıklı model hangi farklı garantileri taşır?
Konform uygun düzenli noktada yerel açı/çok küçük biçim ilişkisini; merkezden eş uzaklıklı model belirtilen merkez ile başka noktalar arasındaki uzaklıkları korur. Bunlar genel alan veya bütün nokta çiftlerinin uzaklığı garantisi değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.