hepnotKüre üzerinde paralel yayının nicel uzunluğu
Konunun mantığı
Bu derste yüzey yarıçapıR>0olan kusursuz küredir;φenlemi−90°ile+90°arasında ölçülür. Kutuplardan farklı sabitφenleminde kesit dairesinin yarıçapıρ=Rcosφolur. Bunun geometrik dayanağı,küre merkezinden noktaya gidenRuzunluğunun dönme eksenine dik izdüşümüdür. Pozitif veya negatif aynı mutlak enlem aynıρverir. Ekvatorφ=0ikenρ=R;kutba yaklaştıkçaρküçülür. Boylam açısı değişmeden de fiziksel yay uzunluğu değişebilir;bu yeni kayıt önceki nitel küçülmeyi nicel modele çevirir.
Bir paralel üzerinde seçilmiş küçük yay için boylam açısıθradyan ise L=ρθ=Rcosφ·θdır. Δλderece verilmişse θ=Δλ·π/180kullanılır;derece sayısı doğrudan radyanmış gibi çarpılmaz. Aynı hesap L=(Δλ/360)·2πRcosφolarak çevrenin payından da bulunur. θboyutsuz açı değeri,Rkilometreyse Lkilometredir. İki yöntem aynı çember geometrisini anlatır;bağımsız saha ölçümü değildir. Küçük yay için0≤Δλ≤180°alıyoruz;180°de iki eş yarım yay vardır.
Uçların boylamları−180°ile+180°temsilinde verilirse önce d=|λ2−λ1|bul,sonra küçük yay için Δλ=min(d,360−d)seç. Örneğin koordinat yazım sınırının iki yanında bulunan iki yakın noktanın farkı,çıkarma sonucu çok büyük görünebilir;bu sayı her zaman istenen küçük yay değildir. Daha uzun dolanım veya birden fazla tur özellikle istenirse açı ve yol ayrıca tanımlanır. Bu mekânsal küçük açı seçimiyle tarihli saat hesabındaki gün bilgisini keyfî360°silerek değiştirmeyi birleştirme;hangi yay veya hangi günün istendiği ayrı bilgidir.
Aynı küçük boylam açısı için Lφ/Lekvator=cosφdır. Farklı enlem ve farklı açı varsa oran cosφ1·Δλ1/(cosφ2·Δλ2)olur;payda yayının pozitif olması gerekir. Buna karşılık uygun aynı işaretli boylam farkıyla ortalama yerel saat farkının büyüklüğü4dakika/°ilişkisini korur. Örneğin enlem değişerek yay yarılabilirken açının iki katına çıkarılması uzunluğu eski değere getirebilir;zaman açısı ise iki kat olur. Aynı kilometre sayısı aynı boylam veya aynı saat farkını garanti etmez. Saatin kadranını vermek,tarihli yerel kaydın tamamını vermek değildir.
Kutup noktasındaρ=0olur;farklı boylam etiketleri orada farklı yüzey noktaları tanımlamaz. Sıfır çevreye bölüp kutupta mesafeden boylam veya ortalama yerel saat bulmayız. Ekvator dışındaki paralel genel olarak büyükçember değildir;paralel boyuncaLhesabı iki nokta arasındaki en kısa küresel yol diye adlandırılamaz. Gerçek Dünya elipsoidi,engebeli güzergâh ve projeksiyonla basılmış harita da ayrı modellerdir. Buradaki küre yayı,sabit ölçekle çizilmemiş bir dünya haritasında cetvel ölçüsüne koşulsuz çevrilmez;harita koruma ölçütü ayrıca gerekir. Ders bütün jeodeziyi veya ulaşım mesafesini tamamlamaz.
Küredeρ=Rcosφ;seçilen küçük paralel yayıL=ρ·Δλ·π/180=(Δλ/360)2πρ. Boylamlar sınırın iki yanındaysa küçük açıyı seç. Aynı açı içinEkvatora orancosφ;dakika/°değişmez. Kutupta boylam dejenere,paralel yayı genelde en kısa büyükçember yolu değildir.
Adım adım bir örnek
Özgün ideal modeldeR=6000km,φ=60°kuzey ve seçilmiş küçük boylam farkı36°dir. Sabit paralel boyunca yay uzunluğunu,Ekvator üzerindeki aynı açılı yaya oranını ve36°nin ortalama yerel saat farkı büyüklüğünü bulun. Gerçek güzergâh/resmî saat sorulmuyor.
Yarıçap ve radyan
- ρ=6000cos60°=3000km;θ=36π/180=π/5.
- L=3000·π/5=600πkm;Ekvator yayı1200πkmolduğundan oran1/2.
- Boylam farkının zaman karşılığı36·4=144dakikadır;oran1/2bu zaman farkını yarıya indirmez.
Sınır: Rküresel model parametresi ve açı küçük paralel yayına aittir;uzunluk en kısa yol iddiası taşımaz.
Paralel çevresinin payı
- 60°paralel çevresi2π·3000=6000πkm.
- 36°tam çevrenin1/10udur;yay600πkm. Ekvator çevresi12000πolduğundan aynı pay1200πkm.
- Dönüş açısında36/360·24=2,4saat=144dakika bulunur.
Sınır: Aynı boylam açısı çevrenin aynı payını verir;farklı yarıçaplı çemberlerde aynı fiziksel uzunluk vermez.
Küçük yay başka enlemde aynı kilometrede tutulacaksa boylam açısının da aynı kalması gerekir mi?
Hatayı bul
“Aynı enlemde170°doğu ile170°batı için340°çıktı;bu kesin küçük yaydır. AyrıcaRcosφile hesaplanan paralel yolunu iki nokta arasındaki en kısa küresel yol sayarım.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Koordinat yazımındaki340°farkını istenen küçük yay açısıyla özdeş saymasıdır.
Küçük açımin(340,20)=20°dir;paralel yayı kendi yarıçapıyla hesaplanır. Ekvator dışındaki paralel genel olarak büyükçember olmadığından sonuç en kısa yüzey yolu diye adlandırılamaz.
Çalışılmış60°kuzeydeki36°yay60°güneye taşınıp küçük boylam farkı18°ye indirilirse uzunluk ve zaman farkı büyüklüğü nasıl değişir?
cos(−60°)=cos60°olduğundan yarıçap3000kmkalır; açı yarılanınca yay300πkm,zaman farkı72dakikaolur. Yarımküre değişimi tek başına bu iki büyüklüğü değiştirmez;buradaki yarılma açı değişiminden gelir.
Dersin soruları
1Özgün küre modelindeR=7200km,sabitφenleminde cosφ=2/3ve küçük boylam açısı15°verilmiştir. Bu paralel boyunca yay uzunluğu hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2AynıRyarıçaplı kürede X,Ekvator üzerinde12°küçük boylam yayını;Y,60°güneyde24°küçük boylam yayını gösterir. Açıların her biri için ortalama yerel saat farkı büyüklüğü4dakika/°ile hesaplanır. Hangi karşılaştırma doğrudur?
Bu soruda hata mı var?3İdeal küredeR=6000km;PveQ45°kuzey paralelindedir. Boylamları170°doğu ve170°batı;cos45°=√2/2veriliyor. İstenen,bu paralel boyunca iki noktayı birleştiren KÜÇÜK yaydır;en kısa büyükçember yolu değildir. Uzunluk hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1İdeal küre modelinde R = 8000 km’dir. 30° kuzey paralelinde seçilmiş küçük bir yayın boylam açısı π/4 radyandır. Bu paralel yayının uzunluğu hangisidir?
2İdeal küre modelinde R = 6000 km’dir. 60° kuzey paralelinde seçilmiş küçük bir yayın uzunluğu 500π km’dir. Bu yayın boylam açısı kaç derecedir?
3Aynı paralel üzerinde P noktası 140° doğu, Q noktası 90° batı, R noktası 160° batı boylamındadır. Küçük yay boylam açılarına göre PQ, PR ve QR için büyükten küçüğe sıralama hangisidir?
4Aynı kürede X yayı 30° kuzey paralelinde 40° boylam açısını, Y yayı 60° kuzey paralelinde 80° boylam açısını gösterir. LX/LY oranı hangisidir? (cos30° = √3/2, cos60° = 1/2)
5İdeal küre modelinde R = 6000 km’dir. 60° kuzey paralelinde seçilmiş küçük bir yayın uzunluğu 750π km’dir. Ortalama yerel saat farkı büyüklüğü 4 dakika/° ile hesaplanırsa bu yayın uçları arasındaki saat farkı hangisidir?
6İdeal küre modelinde R = 6000 km’dir. P ve Q noktaları 60° kuzey paralelindedir ve boylam farkları 180°’dir. Paralel boyunca yay hesabı için hangisi doğrudur?
7İdeal küre modelinde aşağıdaki ifadelerden hangisi savunulabilir?
8Aynı kürede üç yay seçiliyor. X: Ekvator üzerinde 24° boylam açısı. Y: cosφ = 1/2 olan bir paralelde 60° boylam açısı. Z: cosφ = 4/5 olan bir paralelde 40° boylam açısı. Ortalama yerel saat farkı büyüklüğü 4 dakika/° ile hesaplanıyor. En uzun yay hangisidir ve saat farkı en büyük olan yay hangisidir?
9İdeal küre modelinde R = 5000 km’dir; bir paralelde cosφ = 4/5’tir. Bu paralel üzerindeki iki noktanın ortalama yerel saat farkı büyüklüğü 4 dakika/° ile 1 saat 30 dakika bulunuyor. İki nokta arasındaki küçük paralel yayının uzunluğu hangisidir?
10İdeal küre modelinde R = 6000 km’dir. P noktası 60° kuzey paralelinde 170° doğu boylamındadır. Aynı paralel üzerindeki Q noktasına paralel boyunca ölçülen KÜÇÜK yayın uzunluğu 2000π/3 km’dir. Q’nun boylamı hangisi olabilir?
Aklında kaldı mı?
Kürede1°boylam için fiziksel yay değişirken4dakika/°neden değişmez?
Paralel yayıRcosφile,enleme bağlı yarıçapla değişir. Ortalama zaman ilişkisi kürenin aynı açısal dönüşünden gelir;kilometre üzerinden kurulmaz.
Paralel yayından boylam bulurken hangi iki geometri koşulu önemlidir?
Kutup dışındaρ>0olması ve hangi yayın/açının seçildiğinin açıklanması gerekir. Kutupta boylamlar aynı noktada birleşir;uzun/kısa yay veya tur sayısı belirsiz bırakılmaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.